Книга посвящена важному геометрическому методу анализа и его приложениям к разным задачам алгебры многочленов, теории функций, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ряд существенных результатов принадлежит авторам книги.
Книга может быть рекомендована студентам физико-математических специальностей, аспирантам, научным работникам, интересующимся различными нелинейными проблемами. Она может также служить введением в круг идей и методов интенсивно развивающегося в настоящее время нелинейного функционального анализа.
Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главным образом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучать векторным способом другие дисциплины, как, например, теоретическую механику, гидромеханику, теорию электричества.
Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий и методов векторного исчисления.
Метод внешних форм, или теория систем в инволюции, составляет немаловажную часть общей теории интегрирования систем дифференциальных уравнений; в проблеме совместности и степени произвола общего решения метод Картана занимает первое место.
«Только в результате ряда поисков условий интегрируемости уравнений в частных производных,— пишет Картан,— я пришел к моей теории структуры непрерывных групп»; и далее: «Я хотел создать теорию, куда входили бы понятия и операции, независимые от всякой замены переменных, как зависимых, так и независимых; для этого было необходимо заменить частные производные дифференциалами, которые имеют внутреннее значение.
Я систематически изучал систему уравнений в частных производных в виде уравнений в полных дифференциалах, т. е. в виде систем Иффа. Возникшая отсюда теория систем в инволюции позволила мне развернуть мои работы по теории бесконечных групп преобразований. Старые проблемы, например задача Софуса Ли интегрирования дифференциальных систем, допускающих инфинитезимальные преобразования, привели меня к новой точке зрения на механику и природные законы».
И, наконец, добавляет: «Новая концепция позволила мне строго исследовать совместную гравитацию и электромагнетизм. Я добавил совместную гравитацию уравнений Эйнштейна, построенных на базе его единой теории поля».
Данное пособие составлено по материалам одноименного курса лекций для студентов физических специальностей университетов. В первой части изучаются элементы полилинейной алгебры, необходимые для изучения тензорных объектов дифференциальной геометрии.
Во второй части изучается аппарат дифференциального исчисления тензоров, использующийся в механике сплошной среды и общей теории относительности.
Рассмотрены следующие темы: дифференциальные формы и внешнее дифференцирование, производная Ли, связность и ковариантное дифференцирование, тензор Римана.
Книга представляет собой краткое введение в теорию внешних форм. Она состоит из трех глав: 1) Алгебра внешних форм. 2) Внешнее дифференцирование. 3) Интегрирование форм по цепям. Автор ограничивается рассмотрением внешних форм и цепей в конечномерном евклидовом пространстве. Но на этом материале дается достаточное представление об отношениях сопряженности между пространствами форм и цепей и об основных парах сопряженных операторов.
Книжка написана весьма просто и понятно. Выкладки и рассуждения везде проведены без существенных пропусков. Настоящая книга может быть полезной студентам математических специальностей университетов, которые слушают курсы анализа и геометрии. Возможно также, что ею воспользуются механики и физики, заинтересованные в методах тензорного исчисления.
Настоящий сборник издается в связи со 100-летием со дня рождения крупнейшего геометра, профессора Московского университета, заслуженного деятеля науки и техники, Дмитрия Федоровича Егорова (1869—1931).
Наиболее важные работы его по дифференциальной геометрии, помещенные в различных журналах, отечественных и зарубежных, были собраны, переведены и просмотрены ныне покойным профессором МГУ С. П. Финиковым и членом-корреспондентом АН СССР, профессором МГУ Л. Н. Сретенским.
В книге систематически излагаются основы тензорного анализа и даются приложения его в теории поверхностей и теории оболочек. Она дает также солидный математический аппарат для изучения теории упругости.
В этой книге читатель найдет много научных результатов, принадлежащих автору. Укажем, например, на построения специальных координатных систем, имеющих применение в общей теории оболочек, и на новый раздел — теорию ковариантов.
Лекции будут сопровождаться некоторыми задачами. Помимо этого в течение семестра будет сформирован и предложен (по частям) некоторый список задач, решение которых включается в экзамен (наряду с теоретическими вопросами). Многие задачи из списка будут помечены звездочками внизу или вверху. Задачи, помеченные звездочкой вверху, предназначены (и обязательны) для тех, кто хочет получить “отлично”.
Задачи, помеченные звездочкой внизу, абсолютно обязательны для всех и неумение решать хотя бы одну из них может служить поводом для неудовлетворительной оценки. Неумение решать задачу с двумя звездочками внизу автоматически влечет неудовлетворительную оценку. То же самое относится к некоторым утверждениям, включаемым в лекции без доказательств.
Дифференциальная геометрия многомерных пространств различных „связностей“ (в смысле Картана) является одним из интереснейших разделов современной математики. Очень велико её значение и в современной физике и механике. Создатели этой новой области математики, поглощенные развитием общих геометрических идей и увлеченные богатством открывшихся им новых фактов, мало заботились о логической строгости и отчетливости своих построений.
В результате в дифференциальной геометрии общих пространств создалась традиция большого пренебрежения требованиями логической строгости изложения, чем это принято в других разделах современной математики. В самых серьезных руководствах по многомерной дифференциальной геометрии обыкновенно отсутствует даже некоторое самое общее изучение — рассматриваемого „пространства“.
В книге излагаются основные сведения из векторной и тензорной алгебры, понятия тензорных полей и тензорный анализ, включающий интегральные теоремы; содержится ряд задач тензорного исчисления в применении к механике сплошных сред и электромагнетизму.
Все операции подробно разобраны в ортогональных системах координат и дано обобщение на случай произвольной криволинейной системы координат.
Книга предназначена для студентов, изучающих аэрогидромеханику, теорию упругости и другие предметы, использующие тензорный аппарат.
