SCI Библиотека

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности k>1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение k связанных ребер, которые соединяют 2 или (k+1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом k связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра. Рассматривается задача об эйлеровом маршруте (цикле или цепи) в кратном графе, которая обобщает классическую задачу для обычного графа. Задача о кратном эйлеровом маршруте является NP-трудной. Обоснована полиномиальность двух подклассов задачи о кратном эйлеровом маршруте, разработаны полиномиальные алгоритмы. В первом подклассе задано ограничение на множества достижимости по обычным ребрам, которые представляют собой подмножества вершин, соединенных только обычными ребрами. Во втором подклассе задано ограничение на степень квазивершин в графе с квазивершинами. Структура этого обычного графа отражает структуру кратного графа, а каждая квазивершина определяется k индексами множеств достижимости по обычным ребрам, которые инцидентны какому-то мультиребру.

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности k>1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение k связанных ребер, которые соединяют 2 или (k+1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом k связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра. Рассматривается задача об эйлеровом маршруте (цикле или цепи) в кратном графе, которая обобщает классическую задачу для обычного графа. Доказывается, что задача о кратном эйлеровом маршруте в варианте распознавания является NP-полной. Для этого предварительно обосновывается NP-полнота вспомогательной задачи о покрывающих цепях с заданными концами в обычном графе.

В статье представлена графовая модель функционирования сети с адаптивной топологией, где узлы сети представляют собой вершины графа, а обмен данными между узлами представлен в виде ребер. Динамический характер сетевого взаимодействия осложняет решение задачи мониторинга и контроля функционирования сети с адаптивной топологией, которую необходимо выполнять для обеспечения гарантированно корректного сетевого взаимодействия. Значимость решения такой задачи обосновывается созданием современных информационных и киберфизических систем, в основе которых лежат сети с адаптивной топологией. Динамический характер связей между узлами, с одной стороны, позволяет обеспечивать саморегуляцию сети, с другой стороны, существенно осложняет контроль за работой сети в связи с невозможностью выделения единого шаблона сетевого взаимодействия. На базе разработанной модели функционирования сети с адаптивной топологией предложен графовый алгоритм предсказания связей, распространенный на случай с одноранговыми сетями. В основу алгоритма положены значимые параметры узлов сети, харатеризующие как их физические характеристики (уровень сигнала, заряд батареи), так и их характеристики как объектов сетевого взаимодействия (характеристики центральности вершин графа). Корректность и адекватность разработанного алгоритма подтверждена экспериментальными результатами по моделированию одноранговой сети с адаптивной топологией и ее саморегуляции при удалении различных узлов.

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности k>1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение k связанных ребер, которые соединяют 2 или (k+1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом k связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра. Ставится задача об эйлеровом маршруте (цикле или цепи) в кратном графе, которая обобщает классическую задачу для обычного графа. Сформулированы необходимые условия существования эйлерова маршрута в кратном графе, показано, что эти условия не являются достаточными. Кроме того, показано, что для произвольного кратного графа необходимые условия существования эйлерова цикла и эйлеровой цепи не являются взаимоисключающими, поэтому можно построить кратный граф, в котором одновременно существуют два вида эйлеровых маршрутов. Кратному графу сопоставляется обычный граф с квазивершинами, в упрощенном виде представляющий структуру исходного графа. В частности, каждому эйлерову маршруту в кратном графе соответствует эйлеров маршрут в графе с квазивершинами. Формулируется алгоритм построения такого графа. Также рассмотрена вспомогательная задача о покрывающих цепях с заданными концами в обычном графе, получены два алгоритма ее решения. Разработан алгоритм поиска эйлерова маршрута в кратном графе экспоненциальной трудоемкости. Для частного случая кратного графа предложен полиномиальный алгоритм, показано, что в этом частном случае необходимые условия существования эйлерова маршрута являются достаточными.

Рассмотрена задача о размещении центра обслуживания технических систем при известных значениях потоков отказов. Даная задача решалась с помощью минисуммного алгоритма теории графов. Получена зависимость коэффициента готовности системы от среднего времени наработки между отказами и среднего времени восстановления элементов системы. Показано, что оптимальным местом расположения пункта технического обслуживания является медиана графа, расположенная в одной из его вершин.

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности k > 1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение k связанных ребер, которые соединяют 2 или (k + 1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом k связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра.Как и для обычного графа, для кратного графа можно ввести целочисленную функцию длины ребра и поставить задачу о кратчайшем пути между двумя вершинами. Кратный путь является объединением k обычных путей, согласованных на связанных ребрах кратных и мультиребер. В статье оптимизирован полученный ранее алгоритм поиска кратчайшего пути в произвольном кратном графе. Показано, что оптимизированный алгоритм полиномиален. Таким образом, задача о кратчайшем пути является полиномиальной для любого кратного графа.

В работе выделены основные направления исследования: проектирование сети с заданными численными характеристиками, расчет устойчивости заданной сети и решения, решение оптимизационных многокритериальных задач со многими параметрами, моделирование динамических сетей. Структура сетей иерархическая, с высокими параметрами кластеризации, обладает свойствами самоподобия на уровне глобальных авиаперевозок. Сети воздушного движения относят к типу безмасштабных сетей, или «маленького мира», а для анализа применяется теория сложных сетей. В качестве инструментария решения оптимизационных задач предложен аппарат предфрактальных графов, приведены основные определения и обозначения, рассмотрены динамические правила порождения графов. Для решения NP-полных задач, встречающихся в транспортно-логистических системах, может быть применен метод, снижающий трудоемкость для ряда подзадач. Рассмотрена модель покрытия сети авиамаршрутов предфрактальным графом, предложена постановка многокритериальной задачи размещения кратного центра со многими весами, проведена оценка радиальной метрики. Предложен алгоритм размещения кратного центра предфрактального графа при сохранении смежности старых ребер, сгенерирован граф и выделены вершины кратного центра. Правила порождения предфрактального графа позволяют генерировать сети с заранее заданными характеристиками, такими как центральность вершин, диаметр и др., в том числе для построения авиамаршрутов, размещения аэропортов и пересадочных узлов. Перспективными направлениями дальнейших исследований являются распознавание реальных сетей авиамаршрутов в виде динамических графов, взвешивание многими весами и постановка оптимизационных многокритериальных задач, анализ структурных характеристик сетей, статистический анализ на основе малых структурных элементов сети, генерирование сетей с заданными свойствами и сравнение их с реальными сетями, анализ структурной устойчивости сетей и др.

Выделенные свойства циклов DFS-базиса блока карты простого графа позволили составить математическую модель вычисления циклов ячеек карты графа. По данной модели предложен практический алгоритм вычисления циклов ячеек карты графа. Алгоритм имеет квадратическую сложность относительно числа вершин в графе.

Рассматривается NP-трудная оптимизационная задача корреляционной кластеризации для неориентированных и невзвешенных знаковых графов без кратных рёбер и петель, где функционал ошибки представляет собой линейную комбинацию межкластерной и внутрикластерной ошибок. Предложен системный подход построения и анализа алгоритмов, основанных на структуре графа, для решения этой задачи. Подход представлен в виде общей схемы, состоящей из шести взаимосвязанных блоков, отражающих основные этапы решения задачи корреляционной кластеризации. С использованием данной схемы проанализированы шесть существующих алгоритмов. Согласно общей схеме построен новый алгоритм CarVeR, который является модификацией алгоритма SGClustα с помощью потенциальных функций. Топология общей схемы открывает возможности для анализа и доказательства вычислительной сложности алгоритмов, что продемонстрировано в теореме о вычислительной сложности алгоритма CarVeR. Представлены вычислительные эксперименты на синтетических данных для сравнения пяти алгоритмов. Результаты экспериментов показали конкурентную способность алгоритма CarVeR как по времени выполнения, так и по минимизации значения функционала ошибки.