В новой книге Р. Куранта дается изложение вариационного принципа Дирихле и его приложений к двум тесно связанным между собой циклам задач — о минимальных поверхностях и о конформных отображениях.
Для этих задач характерна их близость к конкретным физическим явлениям и возможность прямой экспериментальной проверки результатов. Вторая особенность этих задач заключается в трудности их математического исследования, для которого приходится привлекать широкий арсенал средств современной математики.
В книге постоянно применяются методы теории уравнений математической физики, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и топологии. Она написана довольно сжато, но все же автору удалось наряду с формальным аппаратом показать ключевые и ведущие идеи исследований.
После изложения основных вопросов, которое делается сравнительно подробно, во многих местах приводятся краткие указания на возможные обобщения и постановка нерешенных задач. Такой характер изложения определяет широкий круг читателей книги — основное ее содержание доступно студентам старших курсов, в полном объеме представляет интерес и для квалифицированных математиков.
Автор ограничивается простейшим случаем принципа Дирихле. В заключение книги дано краткое приложение с монографией С. Л. Соболева “Некоторое применение функционального анализа в математической физике” (изд. Л. Г. У., 1950).
Книга представляет собой практическое руководство по применению метода конформных отображений. Содержит краткое изложение основных понятий теории, описание отображений, осуществляемых элементарными и некоторыми специальными функциями, а также методов отображения областей (односвязных и двусвязных), ограниченных прямолинейными отрезками или дугами окружностей.
Отдельный раздел посвящен приближенным методам конформных отображений (Теодорсена и Гаррика, Гершгорина и др.). Вторая часть книги представляет собой каталог конформных отображений.
Книга полезна для студентов, инженеров и научных работников в области гидродинамики и гидротехники, электро- и радиотехники и других лиц, имеющих дело с применением теории конформных отображений.
Небольшая монография из известной серии «Ergebnisse» содержит обзор результатов ряда исследователей, и в том числе самого автора — видного американского аналитика, по современной геометрической теории функций комплексного переменного.
Особое место занимает изложение вариационных методов, и в особенности так называемого метода экстремальных длин, нашедшего в последние годы важные применения в теории функций. Все основные результаты приведены с доказательствами; в книге имеется обширная библиография.
Книга доступна студентам университетов, представляет несомненный интерес для специалистов по теории функций комплексного переменного и для математиков, работающих в смежных областях.
