В последние годы в нашей стране большое внимание уделяется вопросам совершенствования планирования, экономического анализа, управления экономикой. Необходимость такого совершенствования определяется ростом масштабов, усложнением экономических и производственных связей, повышением темпов технического прогресса.
Без этого недостижимо дальнейшее повышение экономической эффективности социалистического хозяйства. Важным средством на этом пути является осуществляемая в настоящее время хозяйственная реформа.
Той же цели служит совершенствование экономической теории и практики, перестройка их на базе использования математических методов и электронной вычислительной техники. Наибольшее распространение и наибольшее значение для социалистической экономики получили методы линейного программирования, возникшие впервые в СССР. Эти методы, основанные на строгох, увязанных математически данных, явились основой оптимального планирования народного хозяйства.
В книге изложены аксиоматическая теория множеств и методы доказательства совместимости утверждений теории множеств: метод Гёделя, метод форсинга Коэна, метод булевозначных моделей, метод Френкеля—Мостовского.
При помощи этих методов строятся модели для многих известных гипотез теории множеств: обобщенной континуум-гипотезы, отрицания континуум-гипотезы, отрицания аксиомы выбора, гипотезы Суслина и ее отрицания и т. д.
Книга не требует предварительных знаний аксиоматической теории множеств и доступна широкому кругу математиков.
Выпуская настоящую книгу, авторы имели в виду, с одной стороны восполнить недостаток на русском языке руководств и сборников задач по некоторым отделам геометрии, с другой стороны, путем выбора более серьезных задач, способствовать повышению интереса к геометрии в более широких кругах советских математиков.
Последнее представляется тем более необходимым, что геометрическим дисциплинам все еще уделяется недостаточное внимание в нашей высшей школе. Это объясняется тем, что классики русской математики мало интересовались геометрией, что отразилось и на содержании университетского преподавания. Между тем значение геометрического метода не отрицается и теми математиками, которые сами работают в других областях.
Выпускаемая первая часть содержит следующие отделы: I. Analysis situs. — II. Проективная геометрия. — III. Кинематическая геометрия.
Отделам I и II предпосылается особое введение. В большинстве случаев даются также вступительные замечания к отдельным главам. Это сделано в виду отсутствия на русском языке соответствующих учебников. Многое необходимо предварительно изложить в виде задач, в возможно систематическом порядке.
В конце книги даны решения большинства задач. Без решений оставлены только некоторые задачи, служащие не для более трудных задач, а преимущественно для объяснения существенных методами, примененных в предыдущих задачах.
Монография предназначена для студентов, магистрантов и преподавателей и может быть использована в качестве учебного пособия при изучении дисциплин, связанных с математическим моделированием в самых разнообразных отраслях прикладной науки.
Оно также будет полезно при подготовке к семинарам, факультативным занятиям и при самостоятельном изучении вопросов данной тематики. Материал монографии может быть широко использован на лекциях и практических занятиях по курсам дифференциальных уравнений и математической физики. Специалистам-гуманитариям пособие может служить кратким руководством по применению математических методов в истории, лингвистике и музыковедении.
Основной целью настоящей монографии является изложение логики моделирования на нетривиальных примерах, что способствует также повышению кругозора, эрудиции и глубины мышления будущих специалистов высшей квалификации.
Рассматривается компьютеризированная наборная система TeX, позволяющая получать документы типографского качества. Система дает возможность также существенно сокращать время выхода в свет публикаций за счет предоставления издательству качественного оригинал-макета для прямого воспроизведения.
Дается описание основных возможностей и понятий TeX’а, знание которых необходимо для начального изучения TeX’а. По возможности используется принятая в нашей стране полиграфическая терминология. Оригинал-макет препринта изготовлен средствами TeX’а с помощью пакета LaTeX.
Комбинаторика — один из разделов математики, играющий важную роль при решении некоторых современных проблем теории вероятностей, кибернетики, математической логики, теории чисел. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по теории кодов.
В книге изложены основные понятия и методы комбинаторики. Изложение материала построено на систематическом использовании теоретико-множественных понятий. Книга рассчитана на учащихся средних школ и студентов младших курсов университетов. Она может быть полезна и для лиц, занимающихся комбинаторными расчетами.
Если рассуждение это покажется слишком длинным для прочтения за один раз, то его можно разделить на шесть частей.
В первой находятся различные соображения относительно наук; во второй — главные правила метода, который искал автор; в третьей — некоторые из правил нравственности, выведенных автором из этого метода; в четвертой — доводы, с помощью коих он доказывает существование бога и человеческой души, которые составляют основание его метафизики; в пятой — последовательность физических вопросов, какие он исследовал, и, в частности, объяснение движения сердца и некоторых других трудных вопросов, относящихся к медицине, а также различие, существующее между нашей душой и душой животных; и в последней — указание того, что необходимо, чтобы продвинуться в исследованиях и роды дальше, чем удавалось автору, а также обширные соображения, которые побудили его писать.
В книге представлены исследования по проблеме нахождения интегрального представления и вычисления конечных и бесконечных сумм (порождающих функций), возникающих в практике комбинаторного анализа, теории алгоритмов и программирования на ЭВМ, теории вероятностей, теории групп, теории функций и т. д., а также в физике и других областях знания. Излагается общий подход к вычислению сумм (выражений) в замкнутом виде путем их сведения к одномерным и кратным интегралам, чаще всего контурным.
Монография может быть полезна специалистам по дискретной и непрерывной математике, физикам, инженерам и другим лицам, интересующимся вычислением сумм и приложениями комплексного анализа в дискретной математике.
В книге излагаются основы нового направления в групповом анализе, связанного с приложением групп Ли к конечно-разностным уравнениям, сеткам, разностным функционалам.
Показывается, что наличие непрерывной симметрии у разностных моделей приводит так же, как и в классическом случае инвариантности дифференциальных уравнений, к понижению порядка и интегрируемости обыкновенных разностных уравнений, к наличию инвариантных (точных) решений у уравнений в частных разностных производных, к существованию разностных законов сохранения у инвариантных вариационных задач.
Рассмотрены многочисленные примеры построения разностных моделей, в которых полностью сохранена непрерывная симметрия исходных дифференциальных уравнений.
Для специалистов в области математической физики и вычислительной математики, интересующихся вопросами качественного анализа дискретных уравнений, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
В настоящее время интенсивно развивается конструктивное направление в математике, в частности, конструктивный математический анализ. Р. Л. Гудстейн является автором весьма интересного и своеобразного подхода к построению некоторых фрагментов конструктивного математического анализа.
Этот подход существенно отличается (как по общему замыслу, так и по характеру центральных понятий) от подходов, использованных другими математиками; он тесно связан с введенным Гудстейном исчислением равенств, представляющим собой аксиоматический фрагмент теории рекурсивных арифметических функций, обладающий рядом важных достоинств.
Аксиомы исчисления равенств и выводимые в этом исчислении объекты представляют собой формулы вида T₁ = T₂, где T₁ и T₂ — функциональные выражения (термы), составляемые обычным способом из натуральных чисел, предметных переменных (допустимыми значениями которых считают натуральные числа) и знаков примитивно рекурсивных функций *).
