SCI Библиотека

Настоящая лекция доступна учащимся восьмилетней школы. В ней рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда задач. Попутно с решением таких задач затрагивается вопрос, что означают слова “решить задачу”.

Решая геометрическую задачу, полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.

Связи между величинами отрезков, углов и т. п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной “теория скоростей” — кинематика.

В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.

Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9–10 классов.

В брошюре рассказывается об истории возникновения, свойствах и применении различных систем счисления: десятичной, двоичной и некоторых других. В связи с двоичной системой счисления даются элементарные сведения о вычислительных машинах.

В брошюре систематически и с общей точки зрения описываются признаки делимости. Это дает автору повод популярно изложить некоторые вопросы элементарной теории чисел, теории отношений и теории алгорифмов.

Эта книга является развитием лекции, прочитанной автором в Московском университете для школьников 9–10 классов. В ней рассказывается, как из простого геометрического понятия с помощью математической абстракции возникло общее определение расстояния. Приведены различные примеры пространств с расстоянием, так называемых метрических пространств. При этом оказывается, что общее понятие расстояния связано с разнообразными математическими фактами.

На основе понятия расстояния можно изучать задачи о кратчайших путях на поверхностях, геометрические свойства многомерных пространств, методы помехоустойчивого кодирования сообщений, методы “сглаживания” результатов измерений и др.

На примере “расстояния” видно, какую роль в математике играет создание общих понятий, находящих порой самые неожиданные применения и связи. Кроме “расстояния”, можно было бы еще указать на понятия “функции”, “предела”, “пространства”, “преобразования” и менее известные в широкой аудитории понятия “изоморфизма”, “группы”, “кольца” и др. Среди этих понятий “расстояние” — одно из наиболее доступных для элементарного объяснения, чем, пожалуй, в основном обусловлен выбор темы этой книги.

Автору хотелось доступными для массового читателя средствами показать, как одна плодотворная идея освещает широкий круг вопросов и служит источником для получения неожиданных результатов или нового взгляда на какую-либо область знания. Эта ситуация, характерная для любой науки, в математике очень часто проявляется в наиболее чистом виде, не заслоненная обилием необходимых, но мешающих подробностей.

Материал, отобранный для книги, в основном диктуется этим общим замыслом.

Первые четыре параграфа как раз и должны раскрыть читателю, как происходит переход от обычного геометрического определения к общему понятию “расстояния” и что это новое “понятие” означает в различных конкретных случаях.

В пятом параграфе описывается так называемое пространство сообщений, играющее важную роль в теории информации и общей теории связи.

Следующий параграф посвящен описан

В основе музыки лежит музыкальный тон, или звук, определенной высоты, представляющий собой колебательный процесс в воздухе с некоторой частотой. Хотя наше ухо воспринимает тоны с достаточно широким диапазоном частот, в музыке мы пользуемся сравнительно небольшим числом тонов.

Вопрос о том, какие именно тоны должна содержать музыкальная шкала, решается математическими методами. Этому и посвящена настоящая брошюра, в основу которой легла лекция, прочитанная автором в школьном математическом кружке при МГУ.

В книге на простых примерах, взятых из области механики и геометрии и доступных учащимся средней школы, разъясняется понятие огибающей, играющее важную роль в высшей математике. Эти примеры не требуют рассмотрения никаких других функций, кроме многочленов, благодаря чему разыскание огибающих производится весьма простыми приемами. Книга может быть использована в работе математических кружков.

В этой книге в популярной форме рассказывается о методах приближенного решения алгебраических, тригонометрических, показательных и других уравнений. Книга рассчитана на учеников старших классов, учащихся техникумов, учителей математики и лиц, сталкивающихся в практической деятельности с решением уравнений. По ходу изложения в книге вводятся некоторые элементарные понятия высшей математики. К книге приложено 27 упражнений и их решения.

В книжке кратко и в популярной форме излагаются те вопросы, связанные с системами уравнений первой степени, которые недостаточно освещаются в школьном курсе алгебры.

Отдельные параграфы книги были предметом тематических занятий математического кружка для школьников при Смоленском педагогическом институте имени К. Маркса.

Книга рассчитана на учащихся старших классов средней школы; отдельные части ее могут быть использованы также учащимися техникумов, студентами младших курсов и учителями средних школ.