В книге дается математическое обоснование метода конечных элементов, получившего в последние годы широкое распространение. Основное внимание уделяется строгой математической формулировке вопросов. Дается вариационная формулировка задач с краевыми условиями, рассматривается применение метода к численному решению уравнений в частных производных; изложенный материал иллюстрируется примерами.
Книга представляет большой интерес для всех, кто желает изучить математические основы метода конечных элементов, — математиков-вычислителей, механиков, физиков, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
В данной работе построен приближенный метод решения уравнения для насыщенности в задаче двухфазной неравновесной фильтрации. Это уравнение относится к уравнению типа конвекции-диффузии с преобладанием конвекции и с дополнительным членом, содержащим производную решения третьего порядка. Из-за гиперболического характера уравнения его решение сопровождается рядом трудностей, которые приводят к необходимости тщательного выбора метода решения. На основе вычислительных экспериментов проведено сравнение трех классических стабилизированных методов конечных элементов (SUPG, GLS и USFEM).
В последнее время ведутся интенсивные исследования по залечиванию усталостных трещин путём пропускания импульсов электрического тока высокой плотности. При этом возникает задача определения на сколько укоротилась трещина за счёт оплавления материала в вершине трещины, вызванного джоулевым разогревом. Сложность решения этой задачи состоит в том, что после частичного заваривания трещины непросто определить местоположение вершины трещины с использованием оптического микроскопа. Определение точного местоположения вершины трещины также затруднено для образцов с загрязненной или корродированной поверхностью. В данной работе предложен подход к оценке длины трещины в образцах на усталостное нагружение, основанный на решении задачи теории упругости в двумерной постановке. Методом конечных элементов решена задача определения раскрытия трещины при нагружении консольно закреплённых образцов изгибающей нагрузкой в упругой области. Рассчитаны максимальные напряжения Мизеса в образце при нагружении единичной изгибающей силой. Величину раскрытия трещины можно измерить с помощью оптического измерительного микроскопа и по результатам расчёта определить длину трещины. Для тестирования предложенного подхода проведены экспериментальные исследования на полосках из титанового сплава ВТ6 с зеркально полированной поверхностью, которая позволила измерить длину усталостной трещины с помощью оптического микроскопа. Было получено три образца с трещинами разной длины, для которых проведены испытания на изгиб с измерением величины раскрытия трещины с помощью оптического микроскопа. Кроме того, длина трещины определялась из конечно-элементного расчёта, связывающего длину трещины с величиной её раскрытия при заданной нагрузке. Экспериментальные результаты хорошо согласуются с результатами моделирования.
Компьютерное моделирование новых методов обработки материалов носит многодисциплинарный характер и требует развития специального программного обеспечения с соответствующими математическими моделями и алгоритмами. В данной работе создана программа для конечно-элементного моделирования явлений, связанных с выделением Джоулева тепла в неоднородных системах. С использованием созданной программы исследована модельная система, имитирующая протекание электрического тока через полидисперсный порошковый материал. Модельный материал имеет матричную структуру, образован круглыми в сечении включениями и характеризуется различной проводимостью, концентрацией и взаимным расположением частиц. Показана возможность получения анизотропной структуры в результате теплового воздействия на порошковый материал при протекании электрического тока. Установлен перечень управляющих параметров технологического процесса для получения анизотропного порошкового материала. Предложен метод систематизации результатов компьютерного моделирования с использованием диаграмм, подобных фазовым диаграммам многокомпонентных соединений.
В статье предложена и реализована процедура восстановления асимптотического разложении полей напряжений, деформаций и перемещений в анизотропных материалах, обобщающих решение Уильямса для линейно упругих изотропных материалов, на основании конечно-элементного решения задачи о деформировании образца с дефектом в анизотропном ортотропном материале в приближении плоской задачи теории упругости. Коэффициенты разложения поля напряжений вблизи вершины трещины в анизотропном материале определяются с помощью переопределенного метода, предложенного изначально для восстановления асимптотического разложения из экспериментальных данных фотоупругого исследования. В настоящей работе данный метод распространен на анизотропные материалы с различными видами симметрии, и новизна предлагаемого подхода заключается в реконструкции асимптотического разложения из конечно-элементного решения для компонент тензора напряжений в узлах конечно-элементной сетки, что позволяет не исключать их поля перемещений составляющие, отвечающие перемещениям тела как абсолютно твердого тела. В предлагаемом подходе можно непосредственно в схеме переопределенного метода использовать данные конечно-элементных вычислений. Показано, что коэффициенты высших приближений надежно определяются посредством переопределенного метода, основанного на поле напряжений, найденном из конечно-элементного анализа.
Решение актуальной задачи повышения характеристик экономичности, приемистости и других рабочих параметров газотурбинных двигателей (ГТД) авиационного и наземного назначения обусловило применение в них многороторной (многокаскадной) компоновки роторной системы (РС), реализация которой чаще всего связана с использованием межроторных (межвальных) подшипников. Цель представленного в работе исследования заключается в дальнейшем развитии математического моделирования анализа динамического поведения РС ГТД, построенной с использованием двухроторной компоновки ее конструкции, и состоящей из роторов низкого (РНД) и высокого давления (РВД), между которыми расположен межвальный подшипник, служащий опорой турбины РВД на вал РНД. Математическая модель анализа динамического поведения РС ГТД построена на основе метода конечных элементов (МКЭ) и решения контактной задачи теории упругости, позволяющей учитывать в конструкциях роторов условия сопряжения деталей; реализованная в виде комплекса программ (решателя). С применением представленной математической модели получены амплитудно-временные (частотные) характеристики (АВХ) роторной системы конструкции современного газотурбинного двигателя, а также картина деформированного состояния и поля динамических напряжений. Сравнительный анализ результатов динамического поведения РС без учета влияния межвального подшипника и с учетом этого влияния показывает, в частности, появление дополнительных гармоник в рабочей области частот вращения РС, а также интерференцию колебаний в виде «размытия» АВХ.
Проведено исследование точности волновых оболочечных конечно-элементных моделей. Полученные результаты сравнивались с результатами аналитического расчёта. По результатам исследований для всех рассмотренных форм колебаний типовых конструкций расхождение значений собственных частот не превышает 5 %.
В работе даётся описание вычислительной модели, основанной на методе численного интегрирования и предназначенной для решения в линейной эйлеровой постановке задач устойчивости сжимаемых в осевом направлении вафельных цилиндрических оболочек. С принятием гипотезы «размазывания» указанные оболочки рассматриваются по схеме конструктивно-ортотропных оболочек, подчиняющихся гипотезам Кирхгофа-Лява. На основе тетраэдрального элемента (Tet10) в среде программного комплекса MSC Patran/Nastran строится также альтернативная конечно-элементная модель для решения тех же задач. Достоверность получаемых численных решений подтверждается хорошим согласованием результатов расчётов на основе отмеченной альтернативной вычислительной модели и имеющимся решением методом конечных разностей. Результаты проведённых расчётов на устойчивость при осевом сжатии образцов вафельных цилиндрических оболочек, изготовленных из алюминиевых сплавов, сравниваются с имеющимися экспериментальными данными.
еталлических трубах из стали Х18Н10Т, возникающих в режимах термоциклирования при многократном пропускании по трубе нагретого воздушного потока: общая относительная деформация образца, как и величина локальной деформации, изменяется на уровне 10-3; величина термоупругих напряжений ~ 300 МПа. Результаты моделирования напряженно-деформированного состояния цилиндрического держателя тензодатчика из стали 40Х2Н2МА под действием равномерно распределенной нагрузки (прикладываемая сила ~ 20 тс) показывают, что максимальные по величине напряжения и деформации возникают на площадке пятна контакта купола держателя с силопередающей плитой, а минимальные - в плоскости фиксации держателя. Модели и результаты расчета подготовлены в среде компьютерного моделирования ANSYS.
Предмет исследования: задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса.
Цель исследования: описание теоретических результатов (теорема существования и единственности решений обратной задачи), создание алгоритма решения задачи численного определения точечных источников, исследование его свойств, численная реализация алгоритма и его тестирование и проверка на устойчивость.
Объект исследования: задачи численного определения точечных источников (правой части специального вида) в обратных задачах тепломассопереноса. Источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника. Они являются неизвестными и подлежат определению вместе с решением уравнения. В качестве данных переопределения задаются значения решения в некотором наборе точек, лежащем внутри области.
Методы исследования: алгоритм основан на методе конечных элементов по пространственным переменным и методе конечных разностей по времени. Неизвестная правая часть определяется на каждом временном слое при помощи условия переопределения.
Основные результаты исследования: описание алгоритма решения, его свойств, результаты численных экспериментов. В том числе описаны условия, когда алгебраическая система, к которой приводится задача, имеет единственное решение, проведено сравнение данных, полученных в результате расчетов, с тестовыми примерами. Расчеты проводились в том числе и с добавлением к данным замеров случайного шума различного уровня. Результаты показали, что решение устойчиво при случайном возмущении данных задачи.