Книга представляет собой вторую часть монографии выдающегося английского математика Э. Ч. Титчмарша, первая часть которой была недавно выпущена в свет Издательством иностранной литературы.
Вторая часть в основном посвящена теории разложений по собственным функциям дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Основное внимание уделяется тому случаю, когда областью является вся плоскость. Изучаются природа спектра, распределение собственных значений, сходимость и суммируемость разложений по собственным функциям. Подробно излагается теория возмущений.
Русское издание второй части снабжено приложениями, написанными Б. М. Левитаном, А. И. Базем и В. Б. Лидским. В них излагаются последние достижения спектральной теории, принадлежащие советским математикам. Дополнен и список литературы.
Книга будет интересна и полезна для математиков — студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. Много интересного для себя найдут в ней и физики-теоретики, сталкивающиеся в своей работе с задачами спектральной теории дифференциальных уравнений.
Обширная монография одного из крупнейших американских математиков С. Лефшеца содержит систематическое изложение качественной теории дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются вопросы устойчивости (в частности, устойчивости периодических решений), поведение систем в окрестностях особой точки и т. п. Особое внимание уделено двумерному случаю. Изложение ведется на высоком математическом уровне, сочетающем широту охвата со строгостью изложения.
Методы, развиваемые в книге, имеют важные практические применения в ряде отраслей физики и техники. Поэтому книга найдет широкий круг читателей — математиков (начинающих и специалистов) и научных работников различных специальностей.
Не будет преувеличением сказать, что за последние годы в области «эйлероведения» сделано больше, чем за весь XIX век. При этом подверглись основательному пересмотру многие оценки и взгляды, которые приобрели силу традиции. Но изучению геометрического наследия Эйлера уделялось мало внимания.
Аналитический гений Эйлера прославляли все, кто о нем писал, и прославляли по заслугам. Зато в тени оставалось многое другое. Он перестал вычитать и жить — так говорит о его кончине Кондорсе. Как обычно в XVIII веке, Кондорсе называет Эйлера геометром — слово математик было тогда в ходу — но меньше всего он имеет при этом в виду геометрическое зрение, геометрическую изобретательность в нашем понимании.
Через полтора века после Кондорсе и Фуса — авторов первых объемных характеристик Эйлера-ученого — его знаток и почитатель Н. Н. Лузин находит яркие краски для портрета Эйлера, но именно Эйлера — виртуоза аналитической выкладки, чувствующего себя как дома в неслыханных прежде широтах числа. Такая односторонность казалась неизбежной.
В этой книге впервые затрагиваются вопросы о том гимнастическом типе ума, об Эйлере-геометре, для кого фигура в поле зрения не менее нужна, нежели логическая цепь символов. Для такого анализа конечно, нужно много сделать, и многое уже привлечь внимание. Такой портрет нетрудно продолжить.
«Введение в анализ бесконечных» Леонарда Эйлера в настоящем двухтомном издании впервые станет полностью доступным для нашего читателя: первое русское издание 1936 г. осталось незаконченным, вышел только первый том. Существует мнение, что второй том «Введения» (геометрический) уступает первому (аналитическому) по богатству оригинальными результатами, однако и он занимает почетное место среди классических произведений математической литературы, и математику ознакомление с «Введением в анализ» Эйлера в полном объеме даст очень много.
Когда Эйлер писал эту книгу, прошло уже целое столетие с тех пор, как Декарт (и Ферма) ввел в геометрию координатный метод. За это же столетие в науке вошло в обиход понятие функции, был накоплен обширный материал в итоге изучения как отдельных видов функций, так и ряда их общих свойств, был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Но только Эйлер смог связать все эти результаты воедино и, присоединив к ним свои многочисленные открытия, дал во «Введении» первые и образцовые курсы сразу двух дисциплин: собственно введения в анализ бесконечных (аналитическое) и аналитической геометрии (воспринятой как алгебраическое).
Содержание и значение этой творческой идеи анализируются во вступительной статье редакции, где даются обзор содержания и новизны каждого из двух томов «Введения». Все это — содержательная часть самого «Введения», выполненного на лучших традициях классической математики, с учетом как уровня развития математической науки того времени, так и уровня, доступного для среднего математика. В книге действительно собрано немало материала для размышлений и применения.
Как и предыдущие книги того же автора — «Математический анализ (конечномерные линейные пространства)» (М., 1969) и «Математический анализ (функции одного переменного)» (ч. 1—2—М., 1969, ч. 3—М., 1970), — эта книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.
В гл. 1 строится теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический векторный анализ, в гл. 5 — классическая дифференциальная геометрия, которая развивается в гл. 6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими интегральными теоремами.
Интегрирование. Учащийся уже раньше познакомился с тем фактом, что математические действия встречаются попарно, образуя пары двух взаимнообратных действий. Такими парами, например, являются: сложение и вычитание (+, -), умножение и деление (×, ÷), возведение в целую положительную степень n и извлечение корня (n, √-*).
Далее, учащийся знает, что характеристики функций можно рассматривать тоже как действия и что эти действия также распределяются попарно: на прямые и обратные. Если заданная функция обозначается через f(x), то, чтобы найти для характеристики f обратную характеристику φ, надо в равенстве y=f(x) заменить местами буквы y и x, x=f(y), и затем решить полученное уравнение относительно буквы y, y=φ(x). Характеристика φ является обратной для функции f(x).
В брошюре кандидата философских наук Прокофьева «Две морали» в популярной форме вскрывается коренная противоположность основных принципов коммунистической морали и религиозных моральных поучений. Автор показывает, что коммунистическая мораль (возвышает человека, укрепляет его веру в свои силы, побуждает активно бороться за лучшее устройство общественной жизни, за победу коммунизма. Напротив, религиозная мораль превращает человека в безвольного раба, предписывает всяческое пренебрежение к земной жизни и ее благам; борьбу людей за свое счастье она объявляет не имеющей смысла и ценности. Автор подвергает критике многочисленные попытки современных религиозных моралистов совместить религию с коммунизмом. В брошюре рассматриваются вопросы об отношении религиозной морали к эксплуатации человека человеком, национальной и религиозной розни, войнам, к семье и положению женщин в обществе. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, а также на пропагандистов и агитаторов.
Возможность постройки возвращаемых спутников во многом определяется успехами в разработке новых материалов космической техники, способных сохранять свою прочность при разогреве, не взаимодействовать с кислородом верхних слоев атмосферы, а значит, и не разрушаться от коррозии, защищать экипаж и приборы от космического и рентгеновского излучений. Чтобы изучить свойства новых материалов, необходимо всесторонне испытать их в условиях, близких к космическим. А для этого приходится создавать “космос” на Земле. Небольшая книжка, которая у тебя в руках, читатель, расскажет об этих сложных задачах.
Брошюра профессора В. Тер-Оганезова «Наука и религия о солнечных затмениях» рассчитана на широкий круг читателей. Автор кратко излагает значение, которое имели солнечные затмения в истории культуры, и указывает на их роль в антирелигиозной пропаганде. В брошюре рассказывается, какой суеверный страх в прошлом вызывали затмения,— их считали за предзнаменование «божьей воли». Читатель найдет в брошюре общедоступное изложение того, как и почему происходят затмения? Какова природа Солнца и его оболочек? Какое познавательное значение имело наблюдение солнечного затмения 15 февраля 1961 года в различных населенных пунктах Советского Союза? Как организовать простейшие любительские наблюдения во время такого затмения?
В брошюре кандидата физико-математических наук Михаила Галактионовича Крошкина «Человек проникает в космос» рассказывается о полетах человека в космос, об использовании ракет и искусственных спутников Земли в научных целях. Автор говорит в брошюре об основных этапах истории короткого, но бурно развивающегося «космического века»: работах основоположника космонавтики К. Э. Циолковского, героических полетах советских летчиков-космонавтов. Особое внимание автор уделяет описанию результатов научных исследований в космосе, показывает их значение в общем комплексе геофизических и астрономических наук. С помощью искусственных спутников человек может заглянуть в глубокие недра планеты, изучить непрерывно движущийся воздушный океан Земли, влияние Солнца на его жизнь. Много внимания в брошюре уделяется описанию поясов радиации Земли, истории их открытия, гипотезам об их происхождении. В брошюре излагаются данные, полученные при исследовании невидимой части Луны, межпланетной среды. Рассматривается вопрос о том, есть ли жизнь на других звездных мирах и можно ли установить связь с разумными существами этих миров. Научные итоги исследования околоземного космического пространства и Луны посредством приборов и летающих космических станций и кораблей уже и сейчас очень внушительны. Автор пытается заглянуть в будущее и оценить влияние, которое может оказать выход человека в космос на прогресс науки и техники, культуры и экономики. Брошюра рассчитана на самые широкие круги читателей.
