В статье рассматривается жизнь и деятельность Л. В. Канторовича, его основные экономические идеи и восприятие его концепций советскими и западными экономистами. Он стал единственным отечественным ученым, получившим Нобелевскую премию по экономике. Несмотря на то, что биография Канторовича хорошо известна, приходится опровергать возникающие мифы. Например, что его доклад в ЛГУ, впоследствии опубликованный в виде известной брошюры «Математические методы организации и планирования производства» (1939), показался слушателям настолько антимарксистским, что они боялись, что их арестуют, или что во время блокады Ленинграда Л. В. Канторович сыграл значительную роль в организации «Дороги жизни». В статье показано, что при обсуждении соотношения концепции Л. Канторовича и теории стоимости К. Маркса обычно не учитывается ряд аспектов. Концепция стоимости Маркса не была завершена, и когда он рассматривает экономику в целом, размеры общественно-необходимых затрат труда регулируются величиной общественной потребительной стоимости. Тем самым концепция К. Маркса сближается с идеями экономистов-математиков. Если в модель оптимизации использования земельных ресурсов Л. В. Канторовича подставить данные из таблиц третьего тома «Капитала», то значения о.о. оценок земельных участков совпадут с величинами дифференциальной ренты у Маркса. В западной литературе принято считать, что хоть Канторович и открыл линейное программирование, в конце 1930-х гг. он еще не осознавал экономического значения компонентов оптимального плана двойственной задачи. В статье показано, что экономический смысл разрешающих множителей (о. о. оценок) как показателей ценности был Канторовичу понятен с самого начала, но политическая обстановка того времени не позволяла ему говорить об этом открыто. Л. В. Канторович создал теорию оптимального использования ресурсов и занял почетное место в мировой экономической науке. Однако ни ему, ни его последователям не удалось осуществить трансформацию советской экономики в эффективно функционирующую систему.
В статье предлагается алгоритм поиска целочисленного решения, использующий идею округления координат точки оптимального нецелочисленного решения и построения луча, направленного вглубь области допустимого решения. Алгоритм основан на итеративном процессе округления координат точки в направлении построенного луча. В ходе исследования обнаружено, что движение в сторону направления луча без перебора всех возможных вариантов упрощает алгоритм и позволяет избежать ветвления. Это выделяет данный подход из других существующих на данный момент открытых методов, таких как методы отсечений и ветвей и границ. В процессе работы осуществлялись описание и экспериментальная проверка данного алгоритма и возможности его применения при разных конфигурациях области допустимых решений. Теоретическая значимость исследования заключается в разработке нового алгоритма, который не требует выполнения симплекс-метода на каждом этапе и на каждом шаге использует луч вместо плоскости, что предотвращает рост пространственной сложности задачи по сравнению с другими методами. В ходе исследования стало видно, что предложенный алгоритм имеет ограничения, однако основная идея доказала свою работоспособность, и в дальнейшем планируется развивать ее.
Методы линейного программирования играют важную роль в экономических процессах. Математические модели помогают исследовать влияние различных экономических политик и сценариев на макро- и микроэкономические показатели. Они также используются для оптимизации бизнес-процессов, выявления закономерностей в экономические данные и исследования вопросов эффективного управления ресурсами. В статье рассматриваются возможные сферы применения моделей линейного программирования для решения экономических и управленческих задач, а также определяются вопросы эффективного управления ресурсами
В статье исследован метод определения вектора движения по гиперплоскостям, ограничивающим допустимый многогранник многомерной задачи линейного программирования на основе визуальных образов, подаваемых на вход нейронной сети прямого распространения. Алгоритм визуализации строит в окрестности точки, расположенной на ограничивающей гиперплоскости, рецептивное поле. Для каждой точки рецептивного поля вычисляется скалярное смещение до поверхности гиперплоскости. На основании вычисленного смещения каждой точке рецептивного поля присваивается скалярная величина. Полученный визуальный образ подается на вход нейронной сети прямого распространения, которая вычисляет на ограничивающей гиперплоскости направление максимального увеличения целевой функции. В статье предложена усовершенствованная форма крестообразного рецептивного поля. Описано построение обучающего множества на основе случайно сгенерированных ограничивающих гиперплоскостей и целевых функций в многомерных пространствах. Разработана масштабируемая архитектура нейронной сети с изменяемым числом скрытых слоев. Произведен подбор гиперпараметров нейронной сети. В вычислительных экспериментах подтверждена высокая (более 98%) точность работы крестообразного рецептивного поля. Исследована зависимость точности результатов нейронной сети от числа скрытых слоев и продолжительности обучения.
В статье представлена новая версия масштабируемого итерационного метода линейного программирования, получившего название «апекс-метод». Ключевой особенностью этого метода является построение пути, близкого к оптимальному, на поверхности допустимой области от определенной начальной точки до точного решения задачи линейного программирования. Оптимальный путь - это путь движения по поверхности многогранника в направлении максимального увеличения или уменьшения значения целевой функции в зависимости от того, ee максимум или минимум необходимо найти. Апекс-метод основан на схеме предиктор-корректор и состоит из двух стадий: Quest (предиктор) и Target (корректор). На стадии Quest вычисляется грубое начальное приближение задачи линейного программирования. Основываясь на этом начальном приближении, на стадии Target вычисляется решение задачи линейного программирования с заданной точностью. Основная операция, используемая в апекс-методе, - это операция, которая вычисляет псевдопроекцию, являющуюся обобщением метрической проекции на выпуклое замкнутое множество. Псевдопроекция используется как на стадии Quest, так и на стадии Target. Представлен параллельный алгоритм, использующий фейеровское отображение для вычисления псевдопроекции. Получена аналитическая оценка ресурса параллелизма для этого алгоритма. Также приведен алгоритм, реализующий стадию Target, и доказана его сходимость. Описаны вычислительные эксперименты на кластерной вычислительной системе по применению апекс-метода для решения различных задач линейного программирования.
В статье представлен параллельный алгоритм валидации решений задач линейного программирования. Идея метода состоит в том, чтобы генерировать регулярный набор точек на гиперсфере малого радиуса, центрированной в точке тестируемого решения. Целевая функция вычисляется для каждой точки валидационного множества, принадлежащей допустимой области. Если все полученные значения меньше или равны значению целевой функции в точке, проверяемой как решение, то эта точка считается корректным решением. Параллельная реализация алгоритма VaLiPro выполнена на языке C++ с использованием параллельного BSF-каркаса, инкапсулирующего в проблемно-независимой части своего кода все аспекты, связанные с распараллеливанием программы на базе библиотеки MPI. Приводятся результаты масштабных вычислительных экспериментов на кластерной вычислительной системе, подтверждающие эффективность предложенного подхода.
Статья посвящена исследованию нового метода решения сверхбольших задач линейного программирования. Указанный метод получил название “апекс-метод”. Апекс-метод работает по схеме предиктор-корректор. На фазе предиктор находится точка, лежащая на границе n-мерного многогранника, задающего допустимую область задачи линейного программирования. На фазе корректор организуется итерационный процесс, в результате которого строится последовательность точек, сходящаяся к точному решению задачи линейного программирования. В статье дается формальное описание апекс-метода и приводятся сведения о его параллельной реализации на языке C++ с использованием библиотеки MPI. Приводятся результаты масштабных вычислительных экспериментов на кластерной вычислительной системе по исследованию масштабируемости апекс-метода.