Настоящая книга, написанная выдающимся отечественным педагогом и математиком А. П. Киселевым (1852-1940), представляет собой задачник к его известному учебнику «Элементы алгебры и анализа» и является практическим дополнением к соответствующему теоретическому курсу. Упражнения и задачи в сборнике расположены в порядке возрастания их сложности, а также в полном соответствии с последовательностью параграфов в «Элементах алгебры». Наиболее трудные задачи снабжены подробными решениями или же имеют указания на способ решения. Некоторые упражнения даны в форме вопросов, что заставляет читателя глубже вникнуть в детали теории. Данный сборник задач и упражнений по элементарной алгебре впервые увидел свет в 1928 году и был допущен научно-педагогической секцией Государственного ученого совета. Задачник может быть полезен студентам младших курсов университетов и абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам, а также всем, кто желает освежить свои знания в области математики.
Цель сборника — дать учителям и родителям разнообразный материал для отработки всех типов задач, примеров, уравнений и преобразований. Приложение к этому пособию является два вида самостоятельных работ: “Реши задачу!” и “Попробуй реши!”(примеры, уравнения, неравенства, преобразования), а также сборник “Устный счет”, в котором даны контрольные работы по устному счету (по две на каждый месяц), проверочные работы по теме “Нумерация” и более 600 заданий для развития устного счета.
Каждый день на уроках математики вы узнаете о свойствах чисел и фигур, решаете задачи, а вернувшись домой, повторяете изученный материал и делаете домашнее задание. Большим помощником у вас является учебник. О многом можно узнать из учебника: как складывать десятичные и обыкновенные дроби, как решать уравнения, как строить графики и т. д. Но про то, кем и когда были придуманы дроби, где впервые стали решать задачи с помощью уравнений, когда возникли отрицательные числа,— про все эго в учебнике сказано очень мало. Не говорится в учебнике и о том, как применяют математику в различны х играх, как ее используют для тайнописи, какими удивительными свойствами обладают некоторые числа.
Обо всем этом и о многом другом вы узнаете, прочтя эту книгу. Она начинается с рассказа, как люди научились считать. Для этого вам придется побывать и на стойбищах первобытных людей, и на островах Океании, заглянуть в Древние Египет и Вавилон, о которых вам приходилось слышать на уроках истории. Узнаете вы и о Кирике Новгородце, написавшем первую книгу про математику в Древней Руси, а о Леонтии Магницком, «Арифметику» которого чуть ли не наизусть знал великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов. А потом снова вернемся в Древний Вавилон и узнаем, как тогда взвешивали товары и измеряли длины. Будет рассказано и о том, какими мерами пользовались в Древней Руси, как и когда возникли те единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. А в конце книги речь пойдет о том, как были построены машины, позволяющие делать
миллионы арифметических операций в секунду, где их применяют и какое будущее их ожидает. Узнаете вы и о том, как и где возникла геометрия и почему так называется эта наука.
К каждой главе даны задачи. Они труднее тех задач, которые решают на уроках. И чтобы справиться с ними, надо проявить смекалку — обычных методов тут может и не хватить. А кроме смекалки, нужны настойчивость и целеустремленность — без этих качеств трудно заниматься любым делом, не только математикой.
Настоящая лекция доступна учащимся восьмилетней школы. В ней рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда задач. Попутно с решением таких задач затрагивается вопрос, что означают слова “решить задачу”.
Предыдущее издание вышло в 1966 г.
Пособие в основном состоит из арифметических задач, сфор-
мулированных в виде элементарных физических опытов с ча-
шечными весами. Адресовано школьным учителям, студентам
педвузов и родителям школьников.
Ключевые слова: законы арифметики, равноплечие весы, не-
равноплечие весы, закон Архимеда, подвесной блок как средст-
во создания «отрицательного веса».
Пособие в основном состоит из арифметических задач, сфор-
мулированных в виде элементарных физических опытов с ча-
шечными весами. Адресовано школьным учителям, студентам
педвузов и родителям школьников
Пособие в основном состоит из арифметических задач, сформулированных в виде элементарных физических опытов с чашечными весами. Адресовано школьным учителям, студентам педвузов и родителям школьников.
Настоящая лекция доступна учащимся восьмилетней школы. В ней рассматривается одна важная числовая таблица (которая и называется треугольником Паскаля), полезная при решении ряда задач. Попутно с решением таких задач затрагивается вопрос, что означают слова “решить задачу”.
В 1962 г. геометры Людвиг Данцер и Бранко Грюнбаум предложили выяснить, насколько много точек может содержать такое множество точек в n-мерном пространстве, любые три точки которого образуют остроугольный треугольник. Несложно придумать такое множество из 2n − 1 точки. Авторы задачи думали, что лучшей конструкции не бывает. Гипотеза продержалась более двадцати лет, пока Пол Эрдёш и Золтан Фюреди с помощью весьма изящной комбинаторики её не опровергли. Оказалось, существует такое множество из [cn/2] точек, где c = 2/√3.
Брошюра посвящена изложению конструкции Эрдёша––Фюреди, основанной на применении вероятностных методов в комбинаторике. Текст представляет собой обработку записи лекции для школьников 9––11 классов, прочитанной автором 16 апреля 2005 года на Малом мехмате МГУ.
Для широкого круга читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.
Инверсия — отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.
После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, пучках окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе.
Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией.
Брошюра написана по мотивам лекции, прочитанной автором на
Малом мехмате 28 февраля 2004 года.