SCI Библиотека

Доклад посвящён исследованию односторонней задачи для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной в одномерном случае. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщённого решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, pp. 2653-2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде. В настоящем исследовании рассматривается приближённая начально-краевая задача с оператором штрафа А. Каплана и изучается семейство её решений. Благодаря специфической структуре оператора А. Каплана, удаётся получить повышенную регулярность слабого обобщённого решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближённой задачи с оператором А. Каплана. Основные результаты исследования подробно изложены в статье [Т. В. Саженкова, С. А. Саженков, Е. В. Саженкова. Регулярность и аппроксимация решения односторонней задачи для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной // Матем. заметки СВФУ, 2022, 29 (1), 69 - 87].

Доклад посвящён исследованию начально-краевой задачи для нестационарного нелинейного уравнения диффузии-абсорбции с ограничением значений диффузионного потока и однородными начальными и граничными условиями. Изучается семейство приближённых решений, получаемых с помощью метода штрафа с применением интегрального оператора штрафа А. Каплана. Доказывается, что семейство приближённых решений сильно сходится к решению исходной задачи в анизотропном пространстве Бохнера при стремлении малого параметра регуляризации к нулю. Затем в результате систематического изучения структуры оператора штрафа устанавливается свойство равномерной аппроксимации в пространстве непрерывных по совокупности переменных функций. Настоящее исследование является развитием работ [1-3], более точно, их продолжением на нестационарный случай.

Рассматривается однородная задача Дирихле для p(x)-эллиптического уравнения анизотропной диффузии-абсорбции с ограничением значений диффузионного потока. Изучается семейство приближённых решений, получаемых с помощью метода штрафа с применением интегрального оператора штрафа А. Каплана. Устанавливается, что семейство приближённых решений при стремлении малого параметра регуляризации к нулю слабо сходится к решению исходной задачи в пространстве Соболева первого порядка с переменным показателем и что имеет место свойство равномерной аппроксимации в классах функций, непрерывных по Гёльдеру.