Обсуждается обнаруженное ранее комплексное изменение фазы излучения в ускоренно движущемся линейном лазерном резонаторе с неподвижными друг относительно друга элементами обрамления. Показано, что переменная мнимая фаза излучения не зависит от показателя преломления однородной среды, заполняющей ускоренный лазерный резонатор с неизменной структурой фазы. Рассмотрена фаза излучения в пределе постоянной скорости движения собственной системы отсчёта излучателя (резонатора). Из закона сохранения энергии при равномерном перемещении (в операторном виде) получено, что фаза излучения инвариантна величине скорости. Получено, что зависимость частоты излучения от постоянной скорости резонатора является доплеровской в различных инерциальных системах отсчёта. Так, из закона сохранения энергии можно получить постоянную фазовую скорость света для любых собственных инерциальных систем.
Обсуждается вклад каждого параметра в комплексное изменение фазы и интенсивность излучения ускоренного резонатора с неподвижным содержимым. Получено условие синхронизма для интерферирующих рукавов излучения неравномерно движущегося источника. Получено, что при интерференции двух полей с комплексными фазами интерференционный член может превышать интенсивность исходного луча в восемь раз. Представлена связь между введённым в наших работах вектором излучения и волновым вектором. Показано, что вектор излучения, определяющий собственные значения пространственной задачи, кратен волновому вектору при наличии граничных условий вдоль лишь одной координаты, когда боковые граничные условия не определены (например, в двухзеркальном резонаторе с плоским волновым фронтом).
Обоснована новая модель пластины Тимошенко, которая может контактировать боковой поверхностью или нижней кромкой лицевой поверхности (относительно выбранной системы координат) с жёстким препятствием заданной конфигурации. Недеформируемое препятствие задаётся цилиндрической поверхностью, образующие которой перпендикулярны срединной плоскости пластины, а также частью плоскости, которая параллельна срединной плоскости. Соответствующая вариационная задача формулируется в виде минимизации функционала энергии над невыпуклым множеством допустимых перемещений. Множество допустимых перемещений задаётся с учётом условия закрепления и условия непроникания. Условие непроникания задаётся в виде системы неравенств, описывающих два случая возможных контактов пластины и жёсткого препятствия. Именно эти два случая соответствуют разным типам контакта: боковым краем пластины и нижней кромкой пластины. Доказано существование решения задачи. В частном случае, когда зоны контакта заранее известны, получена эквивалентная дифференциальная постановка в предположении дополнительной регулярности решения вариационной задачи.
Изучаются новые нелокальные краевые задачи с интегро-дифференциальным граничным условием для нестационарных дифференциальных уравнений соболевского типа четвёртого порядка. Особенностью изучаемых задач является то, что в них в граничном условии содержатся производные как по пространственным переменным, так и по временн´ой переменной. Для исследуемых задач доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений, имеющих все обобщённые по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.
Рассматриваются системы параболических уравнений и вопросы корректности в пространствах Соболева обратных задач определения коэффициентов теплообмена на границе раздела сред, входящих в условие сопряжения типа неидеального контакта. Показано, что при определённых условиях на данные решение задачи существует и единственно. Метод является конструктивным, и на основе предложенного подхода возможно построение численных методов решения задачи. Доказательство использует априорные оценки и теорему о неподвижной точке.
Исследуются вопросы разрешимости нелинейных обратных задач с зависящим от времени неизвестным элементом для эволюционных уравнений в банаховых пространствах с производными Герасимова - Капуто. Получена теорема о существовании единственного гладкого решения нелинейной задачи для разрешённого относительно старшей дробной производной уравнения с ограниченным оператором в линейной части. Она использована при исследовании вырожденных эволюционных уравнений при условии p-ограниченности пары операторов в линейной части уравнения - при старшей производной и при искомой функции. В случае действия нелинейного оператора в подпространство без вырождения доказано существование единственного гладкого решения, а при независимости нелинейного оператора от элементов подпространства вырождения показано существование единственного обобщённого решения. Полученные абстрактные результаты для вырожденных уравнений использованы при исследовании обратной задачи для модифицированной системы уравнений Соболева с неизвестными коэффициентами при младших дробных производных по времени.
The main purpose of this paper is to revisit the recently analyzed class of multidimensional Stepanov almost periodic functions. We introduce and study several new classes of Stepanov-like almost periodic functions in the mixed Lebesgue spaces. We also provide a new application of multi-dimensional Stepanov almost periodic functions to the abstract nonautonomous differential equations of first order, provided that all components of the exponent p_ ∈ [1, ∞)n are equal.
Исследуется задача равновесия пластины под действием внешних сил. Предполагается, что пластина содержит плоское жёсткое включение. Вдоль части жёсткого включения расположена сквозная трещина. На трещине задаются нелинейные краевые условия типа неравенств, которые описывают взаимное непроникание берегов трещины. Задача ставится в виде вариационного неравенства. В предположении достаточной гладкости решения предложена дифференциальная постановка задачи. Обоснована эквивалентность двух постановок: дифференциальной и вариационной. Также рассмотрена контактная задача для упругой пластины с плоским жёстким включением. Приведены дифференциальная и вариационная формулировки задачи, доказаны существование и единственность решения задачи.
Изучены обратные задачи определения вместе с решением вырождающегося дифференциального уравнения с кратными характеристиками также неизвестного коэффициента, задающего внешнее воздействие (свободный член). Характер вырождения в изучаемом уравнении, а также вид неизвестного коэффициента определяются временн´ой переменной. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений - решений, имеющих все обобщённые по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.
We have investigated the correctness of a linear inverse problem for a three-dimensional second kind, second order mixed-type equation in an unbounded parallelepiped. The existence and uniqueness theorems for a generalized solution to a linear inverse problem for the equation with a semi-nonlocal boundary condition are proved in a certain class of integrable functions. The ε-regularization, a priori estimates, approximation sequences, and Fourier transform methods are applied.