В книге представлены исследования по проблеме нахождения интегрального представления и вычисления конечных и бесконечных сумм (порождающих функций), возникающих в практике комбинаторного анализа, теории алгоритмов и программирования на ЭВМ, теории вероятностей, теории групп, теории функций и т. д., а также в физике и других областях знания. Излагается общий подход к вычислению сумм (выражений) в замкнутом виде путем их сведения к одномерным и кратным интегралам, чаще всего контурным.
Монография может быть полезна специалистам по дискретной и непрерывной математике, физикам, инженерам и другим лицам, интересующимся вычислением сумм и приложениями комплексного анализа в дискретной математике.
В книге излагаются основы нового направления в групповом анализе, связанного с приложением групп Ли к конечно-разностным уравнениям, сеткам, разностным функционалам.
Показывается, что наличие непрерывной симметрии у разностных моделей приводит так же, как и в классическом случае инвариантности дифференциальных уравнений, к понижению порядка и интегрируемости обыкновенных разностных уравнений, к наличию инвариантных (точных) решений у уравнений в частных разностных производных, к существованию разностных законов сохранения у инвариантных вариационных задач.
Рассмотрены многочисленные примеры построения разностных моделей, в которых полностью сохранена непрерывная симметрия исходных дифференциальных уравнений.
Для специалистов в области математической физики и вычислительной математики, интересующихся вопросами качественного анализа дискретных уравнений, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
В настоящее время интенсивно развивается конструктивное направление в математике, в частности, конструктивный математический анализ. Р. Л. Гудстейн является автором весьма интересного и своеобразного подхода к построению некоторых фрагментов конструктивного математического анализа.
Этот подход существенно отличается (как по общему замыслу, так и по характеру центральных понятий) от подходов, использованных другими математиками; он тесно связан с введенным Гудстейном исчислением равенств, представляющим собой аксиоматический фрагмент теории рекурсивных арифметических функций, обладающий рядом важных достоинств.
Аксиомы исчисления равенств и выводимые в этом исчислении объекты представляют собой формулы вида T₁ = T₂, где T₁ и T₂ — функциональные выражения (термы), составляемые обычным способом из натуральных чисел, предметных переменных (допустимыми значениями которых считают натуральные числа) и знаков примитивно рекурсивных функций *).
Книга посвящена теории формальных грамматик и языков, являющейся важнейшей составной частью так называемой математической лингвистики. Эта теория вызвана к жизни потребностями лингвистики, но нашла свою почву в чистой математике и стала полноправной отраслью математической логики, тесно связанной с теорией алгоритмов и теорией автоматов.
В книге рассматривается ряд важных проблем теории формальных грамматик — таких, как взаимоотношения между различными классами грамматик и классами задаваемых ими языков, связь между грамматиками и автоматами, оценки сложности вывода в грамматиках, алгоритмические проблемы для грамматик.
Книга представляет большой интерес для специалистов как в области математической лингвистики, так и в смежных областях, например в теории алгоритмов и автоматов.
Публикуемая в этой брошюре работа А. Гротендика посвящена теории пучков — бурно развивающейся области современной алгебраической топологии, которая находит себе многочисленные приложения в различных вопросах алгебры, геометрии и анализа. Автор принадлежит к числу математиков, наиболее интенсивно работающих в данной области.
Основная идея настоящей работы заключается в том, что теория когомологий с коэффициентами в пучках рассматривается в рамках гомологической алгебры в общих абелевых категориях. Более подробное изложение теории пучков можно найти в выпускаемой Издательством иностранной литературы монографии Годемана. Настоящая брошюра рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.
Теория конечных разностей имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел.
По своей современной проблематике теория конечных разностей ближе всего к конструктивной теории функций, с которой она в значительной степени и сливается. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, а в наше время — работами С. Н. Бернштейна и его школы. За последние 20 лет получили у нас большое развитие и исследования в области комплексного переменного.
Теория обобщенных функций — оформившаяся в последние годы область функционального анализа; она возникла в связи с потребностями математической физики и позволила правильно поставить и разрешить ряд классических проблем прикладного значения. В настоящем выпуске рассматриваются главным образом основные понятия теории обобщенных функций, действия над обобщенными функциями и т. д. Первые две главы представляют собой элементарное введение в эту теорию.
Третья глава несколько труднее для чтения и содержит более специальный материал. Выпуск рассчитан на научных работников в различных областях математики, физики и смежных наук, на аспирантов и студентов (математиков и физиков) старших курсов университетов. Он будет также интересен и полезен для инженеров.
В книге излагаются основные результаты теории симплициальных множеств и их применения к алгебраической топологии. Отличительной её чертой является последовательное использование общих понятий теории категорий и функторов, которые развиваются на топологическом материале.
Идеи, излагаемые в книге, играют объединяющую и унифицирующую роль в различных отделах математики. Поэтому книга заинтересует представителей самых разных математических специальностей, в первую очередь топологов и алгебраистов. Она рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей университетов и пединститутов.
Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному — разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заведующему учебной частью школы — составить расписание уроков, ученому-химику — рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, лингвисту — учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т. д.
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько раз личных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
В книге содержится обзор развития математики, начиная с основоположных работ Декарта по алгебре и аналитической геометрии (1637) и кончая 1850 г. В изложении автор рассматривает по отдельности историю различных математических наук: арифметики, алгебры, теории чисел и т. д.; в тексте даются указания на все рассмотренные сочинения.
В литературе по истории математики на русском языке нет книги, посвященной специально восемнадцатому столетию, а развитие математики первой половины XIX в. освещено только частично. Перевод работы Г. Вилейтнера восполняет этот существенный пробел.
Книгой могут воспользоваться, помимо специалистов по истории науки, студенты университетов и педагогических институтов, учителя математики, научные работники и любители математики.