Интегрирование. Учащийся уже раньше познакомился с тем фактом, что математические действия встречаются попарно, образуя пары двух взаимнообратных действий. Такими парами, например, являются: сложение и вычитание (+, -), умножение и деление (×, ÷), возведение в целую положительную степень n и извлечение корня (n, √-*).
Далее, учащийся знает, что характеристики функций можно рассматривать тоже как действия и что эти действия также распределяются попарно: на прямые и обратные. Если заданная функция обозначается через f(x), то, чтобы найти для характеристики f обратную характеристику φ, надо в равенстве y=f(x) заменить местами буквы y и x, x=f(y), и затем решить полученное уравнение относительно буквы y, y=φ(x). Характеристика φ является обратной для функции f(x).
Начиная с середины прошлого века заботы математиков направились к достижению абсолютной строгости в их работах. Эта тенденция привела к ряду изысканий, объединяемых одним общим именем теория функций действительного переменного. Несмотря на то, что образующие ее исследования крайне многочисленны и имеют в настоящее время даже свой собственный орган, они группируются около сравнительно небольшого числа идей.
И, сообразно этому, теория функций действительного переменного может быть разделена на три области: метрическую, дескриптивную и топологическую. Ввиду того, что топология послужит предметом специальной статьи, мы коснемся в настоящем обзоре лишь достижений, сделанных в последнее время первыми двумя областями.
Целью настоящего доклада является изложение результатов новых изысканий в области дескриптивной теории функций. Результаты эти составляют содержание работ, выполненных в течение 1934/35 академического года в отделе теории функций действительного переменного Математического института им. В. А. Стеклова при Академии Наук СССР.
Работы эти были выполнены, частью мною лично, частью же ущ. специалистом названного института доктором Петром Сергеевичем Новиковым. Результаты, полученные им, столь глубокие и сильные, что, собственно говоря, должны были бы составить содержание двух отдельных докладов сессии.
Автор настоящего двухтомного курса математического анализа академик Николай Николаевич Лузин (1883—1950) является одним из крупнейших советских математиков, по книгам которого училось не одно поколение советских инженеров и педагогов.
Николай Николаевич Лузин родился в г. Томске 10 декабря 1883 г. в семье служащего. По окончании Томской гимназии, осенью 1901 г. он поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета, который окончил в 1906 г. Здесь Николай Николаевич учился у знаменитых русских профессоров Н. Е. Жуковского, Б. К. Млодзеевского, Д. Ф. Егрова, оказавших значительное влияние на его последующую деятельность. По окончании университетского курса Николай Николаевич был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию.
Диссертация Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд», впервые опубликованная в 1915 г., замечательна не только богатством содержания и общностью идей, но и тем, что в ней указаны были пути, по которым должны идти исследования по метрической теории функций. Она послужила на многие годы основным источником идей для всех работавших в этой области. Поэтому переиздание этой книги в серии «Библиотека русской науки» является весьма полезным.
Но ввиду того что с момента первого издания диссертации Н. Н. Лузина прошло много лет и теория функций значительно продвинулась вперед, в частности, ряд проблем, поставленных Н. Н. Лузиным, теперь разрешен, представилось необходимым снабдить ее комментариями. Преждевременная смерть Н. Н. Лузина не позволила ему подготовить издание этой книги; таким образом, составление комментариев мы, его ученики, взяли на себя. Желая сделать материал доступным для возможно более широкого круга читателей, мы сочли полезным дать доказательства тех теорем, которые Н. Н. Лузиным были в свое время опущены за недостатком места, а также построить другие доказательства при изложении, об утрате простоты которого он указал нам лично.
Настоящее издание по своему содержанию мало чем отличается от предыдущего: лишь часть третья подверглась значительной переработке и в первых двух частях книги внесены некоторые изменения и дополнения.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам кандидатам физико-математических наук М. Б. Аксёнь, И. Л. Калихману, А. И. Кропотову, Ю. Н. Кузнецову, а также работникам кафедр математики Минского педагогического института, Московского и Ленинградского финансово-экономических институтов, Киевского и Белорусского институтов народного хозяйства за ценные замечания, способствовавшие улучшению настоящего пособия.
Настоящий перевод сделан с французского издания 1768 г. При переводе “Анализа бесконечно малых” было решено в соответствии с порядком издания всей серии классиков строго придерживаться подлинного текста. Все формулы поэтому точно передают оригинал. Это не могло не отразиться на стиле изложения, поневоле отступающего иногда от правильной речи, ибо формулы у Лопиталя нередко врываются в середину фразы самым неудобным для нас образом. Точно так же, за немногими исключениями, дословно передается и терминология автора.
Чертежи представляют собой почти точные копии с чертежей издания 1768 г., поскольку первого издания книги найти не удалось ни в московских, ни в ленинградских библиотеках.
Усвоение курса общей математики для многих студентов представляет значительную трудность; насыщенность логическими рассуждениями, а также аксиоматическое построение теорий создают впечатление совершенной новизны и полного отрыва от школьных знаний; привычные обороты мысли мало приспособлены к рассматриваемым задачам, а геометрическая интуиция, помогавшая прежде, совершенно бесполезна.
Определения часто кажутся совсем произвольными и воспринимаются студентом как правила изобретательной игры, которым надо следовать, не думая о том, что в их установлении мог быть некоторый смысл.
С. Ленг знаком советскому читателю по переводу его работы «Алгебраические числа», выпущенному в начале этого года (издательство «Мир»). Настоящая его книга вводит читателя в круг вопросов современной дифференциальной топологии, которые в последние годы вызывают активный интерес математиков самых различных специальностей.
Она посвящена основам теории бесконечномерных дифференцируемых многообразий и векторных расслоений над такими многообразиями. Понятия и факты, изложенные здесь, находят применение в различных областях математики. Терминология и стиль изложения весьма современны.
Теория почти-периодических (п.п.) функций была создана в основном и опубликована в 1924-1926 гг. датским математиком Гаральдом Бором. Работам Бора предшествовали важные исследования П. Боиля и Е. Эсклангона. В дальнейшем (на протяжении 20-30-х годов) теория Бора получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. Вейля, А. Безиковича, Ж. Фавара, Дж. Неймана, В. В. Степанова, Н. Н. Боголюбова и др.
В частности, теория п.п. функций дала сильный толчок развитию гармонического анализа функций на группах (п.п. функции, ряды и интегралы Фурье на группах). В 1933 г. вышла важная работа С. Бохнера, посвященная перенесению теории п.п. функций на векторно-значные (абстрактные) функции со значениями в банаховом пространстве.