Теорема о неподвижной точке есть утверждение о том, что некоторое уравнение (или система уравнений) имеет решение. Доказываются топологические теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений отрезка, квадрата, окружности и сферы.
В доказательствах используются различные формы комбинаторно-геометрической леммы Шпернера и понятие степени отображения.
Для школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.
Книга включает около 500 задач по планиметрии, разбитых на два раздела. В первом разделе 140 сравнительно простых задач, которые сопровождаются ответами и могут быть использованы как в классной, так и во внеклассной работе в школе.
Второй раздел включает около 300 задач, собранных по тематике: задачи на вычисление, задачи на доказательство и т. д., а также 62 дополнительные задачи. Задачи этого раздела сопровождаются указаниями и подробными решениями. Они могут быть использованы во внеклассной работе, в работе школьных математических кружков, при подготовке к математическим олимпиадам.
Для школьников, преподавателей, студентов.
Включает более 600 задач по планиметрии. В первой части собраны сравнительно простые задачи, которые чаще сопровождаются только ответами и могут быть использованы как в классной, так и во внеклассной работе. Вторая часть сопровождается указаниями и подробными решениями.
В новом издании частично изменилась общая структура: изменилось расположение задач в связи с новой более подробной классификацией, введен ряд новых разделов (окружности и касательные, многоугольники, комбинации фигур и т. д.), добавлено более 200 новых задач в основном за счет исключения наиболее простых задач предыдущего издания (1982 г.).
Для школьников и учителей математики.
Сборник содержит 340 задач по стереометрии и состоит из двух разделов. В первом разделе помещены в основном задачи вычислительного характера. Сюда же включены в виде задач некоторые теоремы и факты стереометрии, непосредственно примыкающие к школьному курсу.
Во втором разделе собраны различные геометрические факты, неравенства, задачи на геометрические места точек, элементы геометрии тетраэдра и сферической геометрии. Они могут быть использованы во внеклассной работе, при подготовке к математическим олимпиадам.
Для школьников, преподавателей, студентов.
Настоящая книга представляет собой третью часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
Она содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Как и первые две части «Избранных задач и теорем элементарной математики», настоящая третья часть состоит из условий задач, ответов и указаний и, наконец, решений. Как решения, так и ответы и указания даны ко всем задачам книги. Кроме того, там, где это необходимо, условия задач снабжены пояснениями.
Эта книга рассчитана на школьников старших классов — участников математических кружков, на руководителей школьных математических кружков, а также на руководителей и участников кружков по элементарной математике в педагогических институтах.
Значительную часть книги составляют «циклы» задач, связанных общей темой, причем задачи цикла вместе и в решении дают очень полное и законченное освещение данной геометрической задачи. Каждый такой цикл может служить темой одного-двух занятий математического кружка.
Эта книга представляет собой вторую часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете. Она содержит задачи по планиметрии и совершенно не зависит от первой части книги, посвященной арифметике и алгебре.
Принципы, которыми руководствовались авторы при подборе задач, были подробно указаны в предисловии к первой части книги. Много внимания уделялось задачам «нестандартным», требующим для своего решения привлечения соображений, непривычных для школьников, но широко используемых в математике сегодняшнего дня.
В настоящей второй части такие «нестандартные» задачи составляют основное содержание первых двух циклов задач, в своем характеру близких друг к другу.
Эта небольшая книга известного венгерского математика посвящена разнообразным задачам о плотнейшем расположении фигур или тел, а также некоторым смежным вопросам, связанным с этими задачами.
Книга содержит богатый материал, интересный и полезный для студентов университетов и пединститутов; часть этого материала может быть использована преподавателями средней школы в работе математических кружков.
Книга содержит задачи, разнообразные по степени трудности, по всем основным разделам курса геометрии средней школы. Ко всем задачам даны решения или указания к решению.
Книга может быть использована учащимися IX — X классов, желающими углубить и расширить свои математические знания.
Книга имеет форму задачника с указаниями и подробными решениями. Все сведения, необходимые для понимания задач, изложены в тексте книги. Многие из собранных здесь задач предлагались участникам московских школьных математических кружков и олимпиад. Некоторые из задач заимствованы из серьезных научных работ, относящихся к новому разделу математики — комбинаторной геометрии.
Книга рассчитана на интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы и студентов-математиков младших курсов.
Книга представляет собой сборник задач с указаниями и подробными решениями. Все задачи посвящены оценкам геометрических величин, чаще всего связанных с треугольником и тетраэдром. Ряд задач заимствован из недавних научных работ; однако, в книге нет ни одной задачи, решение которой требовало бы знаний, выходящих за рамки школьной программы. Многие из задач предлагались на московских математических олимпиадах или разбирались на занятиях школьного математического кружка при МГУ.
Книга рассчитана в первую очередь на школьников старших классов; она может быть использована преподавателями математики для кружковых и факультативных занятий, а также студентами педагогических институтов.
