Геометрия Лобачевского моделирует среду с материальными уравнениями специального вида: Di = ϵ0ϵikEk, Bi = μ0μikHk, где два тензора совпадают: ϵik(x) = μik(x). В пространстве Лобачевского используются квазидекартовые координаты (x, y, z), они моделируют среду, неоднородную вдоль оси z. В этих координатах построены точные решения уравнений Максвелла в комплексной форме Майораны-Оппенгеймера. Задача сводится к дифференциальному уравнению второго порядка для некоторой основной функции, это уравнение может быть связано с одномерной задачей Шредингера для частицы во внешнем потенциальном поле U(z) = U0e2z. В квантовой механике геометрия Лобачевского действует как эффективный потенциальный барьер с коэффициентом отражения R = 1; в электродинамическом контексте эта геометрия действует как распределенное в пространстве идеальное зеркало. Проникновение электромагнитного поля в эффективную среду вдоль оси z зависит от характеристик электромагнитной волны ω, k2 1 +k2 2 и радиуса кривизны ρ пространства Лобачевского. Построенные обобщенные волновые решения f(t, x, y, z) = E + iB и соответствующая система уравнений преобразуются в действительную форму, что позволяет связать геометрические характеристики с выражениями для эффективных тензоров электрической и магнитной проницаемостей.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 16 и 19 июля 2001 года.
В брошюре рассказывается об основных понятиях дифференциальной геометрии: дифференциальных формах, расслоениях и связностях и об их использовании в современной физике.
Брошюра адресована студентам младших курсов.
В монографии для решения уравнений Максвелла или соответствующих им волновых уравнений в ограниченной расчетной области предложен барицентрический метод. Основная идея метода заключается в задании векторного или скалярного аппроксимационного полинома для всей расчетной области без ее разбиения на элементарные подобласти. Предполагается, что расчетная область является областью с кусочно-линейной границей. Аппроксимация задается в барицентрической системе координат. Для произвольных областей заданы правила перевода прямоугольных координат Евклидова пространства в барицентрические и обратно. С учетом свойств конформного отображения для строгого определения барицентрических координат для произвольной расчетной области разработаны методы прямого и обратного конформных отображений односвязной области с кусочно-линейной границей на каноническую.
Издание предназначено для научных работников, аспирантов и инженеров, занимающихся вопросами численного решения краевых задач математической физики.
В пособии в концептуальной форме рассмотрены основные квантовомеханические модели с акцентом на наиболее важные проблемы современной физики, механики и техники.
Авторы предлагают математическую модель, с помощью которой могут быть получены все известные уравнения квантовой механики без введения «вероятностного смысла» и операторов физических величин.
Представленный материал может быть использован в качестве базового математического аппарата при описании любых эволюционных процессов: физических, механических, биологических, экономических и т.д.
В настоящей работе представлен новый метод решения уравнений движения заряженных частиц в электромагнитных полях и проведено его сравнение с различными известными модификациями метода Бориса. Созданные двумерный и трехмерный алгоритмы основаны на использовании точного решения дифференциального уравнения для скорости заряженной частицы на шаге по времени. Сравнительный анализ метода Бориса и его модификаций проводился как по точности методов, так и по времени их работы. Новая модификация метода Бориса позволяет точнее вычислять траекторию и скорость заряженной частицы без значительного увеличения сложности расчетов. Показано, что при выборе модификации метода Бориса для решения задачи в первую очередь следует обращать внимание на точность решения, так как более простая и быстрая схема может не дать выигрыша по времени.