Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения из особой формы этих уравнений. В “Аналитической механике” можно найти все, что касается задачи составления и преобразования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Упомянутая задача едва поставлена; единственное, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных — метод приближений, который покоится на особенной форме дифференциальных уравнений, встречающихся в механике.
Среди большого количества задач, ставящихся в механике, мы будем рассматривать только те, которые относятся к системе из материальных точек, т. е. к тел, размерами которых можно пренебречь и массу которых предполагают находящейся в центре тяжести. Далее мы будем рассматривать только те задачи, развитие которых не зависит от взаимодействия магнитных или электрических сил. Благодаря этому исключаются все задачи, при которых принимается в расчет сопротивление.
Включены следующие разделы теоретической механики: равновесие, устойчивость положения равновесия консервативной системы, малые колебания консервативной системы, асимптотическая устойчивость, гамильтонова механика, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби.
Предназначено для студентов второго курса Московского физико-технического института и соответствует программе второго семестра двухсеместрового курса лекций по теоретической механике.
Настоящий учебник составлен в полном соответствии с программой курса теоретической механики для высших технических учебных заведений и содержит материал, который является основной частью рабочих программ этого курса всех специальностей.
Учебник рассчитан на студентов очной и заочной систем обучения.
Наряду с изложением теоретического материала в учебнике имеется подробное решение задач основных типов и даны вопросы для самоконтроля.
Решение всех примеров выполнено в единицах системы МКС.
Первая часть учебника содержит курс статики и кинематики, вторая часть — курс динамики.
При переиздании учебника учтены многие пожелания и замечания читателей, которым авторы выражают признательность.
Рост производительных сил в эпоху мануфактур вызвал подъем технических и математических наук, в свою очередь, влияющих на уровень производства. В этой цепи бурного развития, которым отмечается XVII век, особенно нужно выделить возникновение нового метода в математике — исчисления бесконечно малых. Этот метод, связанный с именами Ньютона и Лейбница, был совершенно необходим для новой науки и прежде всего для механики. «Спрос» здесь породил «предложение».
Основы нового исчисления были заложены уже во второй половине XVII в. Однако, подобно тому как возникновение нового анализа не было похоже на появление deus ex machina, так же как и разработка его и дальнейшее развитие потребовали длинного исторического периода.
Настоящая книга посвящена развитию качественных методов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопутствующей средой. Используются свойства квазистационарного взаимодействия тела со средой в условиях струйного (или отрывного) обтекания.
Предлагаемый материал находится на стыке таких дисциплин, как динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, и качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Книга предназначена для специалистов в области классической динамики, качественной теории динамических систем и теории колебаний, а также для студентов и аспирантов механо-математических специальностей.
В данной монографии изложены результаты исследований авторов по динамике твердого тела относительно центра масс, в которых рассмотрена эволюция этих движений под действием различных возмущающих моментов сил. Основным методом, применяемым в этих исследованиях, является асимптотический метод усреднения Крылова–Боголюбова. Такие проблемы возникают в современных задачах динамики, ориентации и стабилизации естественных и искусственных небесных тел, гироскопов и в проблемах общей механики.
Для всех случаев движения, рассмотренных в книге, приведены и проанализированы исходные уравнения, выполнено построение решений и получены усреднённые уравнения, которые, будучи существенно проще исходных, описывают движение на большом интервале времени. Представлены методы асимптотического интегрирования, полученные результаты сопровождаются численными экспериментами и качественными особенностями движений, дано описание эволюций движения тела. Изложенные результаты иллюстрируются многочисленными примерами.
Теоретическая механика как одна из важнейших физико-математических дисциплин играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей.
На основных законах и принципах теоретической механики базируются многие общетехнические дисциплины, такие, как сопротивление материалов, строительная механика, гидравлика, теория механизмов и машин, детали машин и др.
В различных курсах по машиностроительным, механическим, строительным, приборостроительным и по другим специальностям также широко используются важнейшие положения теоретической механики.
В 1939 г. исполнилось 50 лет со времени премирования Парижской Академией наук мемуара С.В. Ковалевской о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку.
Как известно, впервые задача была решена Эйлером для случая, когда неподвижная точка является центром тяжести тела; затем Лагранж в своей Mécanique analytique рассмотрел случай, когда центр тяжести не находится в неподвижной точке, но лежит на оси симметрии эллипсоида инерции для точки опоры, который должен быть в этом случае эллипсоидом вращения.
Таким образом, задача была решена лишь в двух частных случаях: в первом ограничение накладывалось на положение центра тяжести тела (он должен быть неподвижным), во втором накладывалось условие отчасти на центр тяжести, отчасти на конфигурацию тела, общая же задача оставалась незатронутой.
Динамика системы рассматривает движение системы материальных точек под влиянием сил. Она вся вытекает из одной общей всеобъемлющей теоремы, которая известна под именем начала д’Аламбера.
Принципы динамики были установлены еще Ньютоном, но в течение около 160 лет после него не было общих способов решения различных задач динамики: каждая отдельная задача представлялась настолько трудной, требовала так много изобретательности, что могли браться за подобные задачи и более или менее удовлетворительно разрешать их только весьма выдающиеся математики, как Декарт, Гюйгенс, Бернулли и др.
Но вот в 1743 г. появился “Трактат динамики” д’Аламбера, где было изложено начало, которое составило эпоху в механике системы, потому что благодаря ему оказалось возможным всякую задачу динамики привести к математическому исследованию.
Настоящая книга представляет собой переработанное и расширенное издание моей книги “Курс векторного и тензорного анализа с приложениями к механике”, вышедшей в 1925 г. и воспроизводившей в основных чертах курс, читанный мной на физико-механическом факультете Ленинградского политехнического института. Впоследствии этот курс был расширен и превращен в курс теоретической механики, как части общей системы теоретической физики. Это расширение выразилось в прибавлении к курсу векторного и тензорного анализа, являвшемуся вместе с тем введением в теоретическую механику, специальных глав, посвященных подробному развитию принципов аналитической механики (уравнения Лагранжа и Гамильтона, вариационные принципы, теория Гамильтона-Якоби и т. д.), а также специальным задачам гидродинамики и теории упругости.
