Настоящая книга является переводом книги Н. М. Гюнтера «La théorie du potentiel et ses applications aux problèmes fondamentaux de la physique mathématique», вышедшей в 1934 г. в Париже. Эта книга возникла из работ специального семинара по теории потенциала, который Н. М. Гюнтер проводил в начале двадцатых годов в Ленинградском университете.
Теория потенциала и связанные с ней вопросы математической физики уже с начала XIX века были в центре внимания математиков. Но до самого конца XIX века не было проведено строгого исследования свойств различных потенциалов, и тем самым имелся целый ряд необоснованных моментов при применении теории потенциала к предельным задачам математической физики. С другой стороны до конца XIX века не было сколько-нибудь отчетливых и глубоких результатов, касающихся свойств решений задач при приближении к границе.
Основанием этого курса служат лекции, читанные мною в Ленинградском университете в 1921/22 и 1928/29 годах, а также лекции, прочитанные мною там же небольшому кружку студентов весною 1931 года, на которых было изложено содержание последних трех глав почти в том виде, в каком они находятся в курсе.
Он отличается от имеющихся соответствующих полных курсов, например от курса Гурса «Leçons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre», главным образом следующими особенностями:
Публикуемые лекции известного шведского математика Л. Гординга посвящены задаче Коши для общего гиперболического уравнения произвольного порядка. В заключительном параграфе рассмотрены гиперболические системы первого порядка.
Используемые методы (рассмотрение левой части уравнения как оператора в том или ином функциональном пространстве) позволяют получить в указанной задаче весьма общие и законченные результаты.
Книга будет интересна для математиков — студентов, аспирантов и научных работников, — в первую очередь для тех, кто занимается дифференциальными уравнениями и функциональным анализом.
Дано систематическое изложение теории интегралов систем уравнений в полных дифференциалах. Рассматриваются следующие вопросы: построение интегрального базиса систем уравнений в частных производных и в полных дифференциалах; автономность и цилиндричность интегралов и последних множителей; задача Дарбу о построении первых интегралов и последних множителей по известным частным интегралам для систем уравнений в полных дифференциалах; существование и ограниченность числа компактных интегральных многообразий, определяемых обыкновенными, в полных дифференциалах и в частных производных дифференциальными системами, а также системами уравнений Пфаффа и системами внешних дифференциальных уравнений; алгебраическая вложимость систем уравнений в полных дифференциалах.
Книга рассчитана на научных работников и аспирантов, занимающихся общей теорией дифференциальных уравнений и её приложениями. Также может быть использована при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям.
Этот небольшой сборник, иллюстрирующий книгу С. К. Годунова “Уравнения математической физики”, составлен нами из задач, предлагавшихся студентам Новосибирского университета преподавателями, ведущими семинарские занятия. Задачи разрабатывались А. Б. Шабатовым, Е. В. Мамонтовым, В. В. Смеловым, Ю. Н. Валицким, Б. Г. Романовым и нами.
На упражнениях разбирались обычно стандартные задачи, взятые из задачников М. М. Смирнова “Задачи по уравнениям математической физики” и Б. М. Будака, А. А. Самарского, А. Н. Тихонова “Сборник задач по математической физике”, а также целый ряд задач, предназначенных для иллюстрации лекционного курса, читаемого С. К. Годуновым.
Мы отобрали для этого сборника те из задач, решавшихся на упражнениях в 1969—1972 гг., которые по своему характеру несколько отличаются от задач, входящих в распространённые задачники.
Хочется надеяться, что эта книжка окажется полезным подспорьем как для изучающих основы теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и для преподающих этот предмет.
Книга является тринадцатым выпуском серии учебников «Математика в техническом университете». Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.
Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Книга содержит вводный раздел и следующие основные разделы: анализ в классах разрывных функций, уравнения математической физики, математические вопросы химической физики. Вводный (первый) раздел «Элементы функционального анализа и теории меры», а также ряд параграфов, включенных в основные разделы, дают необходимый подготовительный материал.
Во втором разделе излагается теория функций, производные которых являются мерами. С ее помощью обобщается аппарат классического анализа на разрывные функции. В частности, получаются важные для различных приложений обобщённые формулы Грина. Приведен ряд применений: вывод физических законов сохранения в классах разрывных функций, обобщение уравнения теплопроводности и др.
В третьем разделе содержится теория обобщённых решений краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов. Вопросы разрешимости, устойчивости решений, разложение по собственным функциям, принцип монотонности для обобщённых решений, теория критических значений и др. Благодаря применению изложенного в предыдущем разделе аппарата обобщены известные ранее результаты.
Методы и результаты теории функций комплексной переменной всё шире и глубже проникают в различные теоретические и прикладные дисциплины. Особенно большая и плодотворная работа проведена в этом направлении в Советском Союзе. Благодаря применению этих методов советским учёным удалось получить первоклассные результаты в теории чисел, теории упругости, гидродинамике и др.
В этой книге, на базе теории функций комплексной переменной, развиваются специальные методы для изучения одного класса дифференциальных уравнений эллиптического типа, охватывающего много важных уравнений математической физики.
Эти методы, в отличие от известных общих методов, позволяют глубже проникнуть в природу решений такого рода уравнений и полнее раскрыть их свойства. С их помощью удаётся по-новому поставить и успешно разрешить вопросы как теоретического, так и прикладного характера, связанные с изучением этих уравнений. Авторы уделяют особое внимание исследованию новых и существенно важных вопросов науки, которые успешно решаются за счёт применения описанных методов и дают возможность в ряде практических случаев получить эффективные результаты.
Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского 7 и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б. М. Будака 12.
Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответами.
В главах проведена разбивка на параграфы или методы решений. Все это, правом того, что задачник должен максимально успешно обеспечить доступность элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики.
В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом.
Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в ней излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.
Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д.), а также инженеров.
