В данной работе начальная форма волны цунами (ниже именуемая источником цунами) представляется как решение обратной задачи математической физики на основе инверсии удаленных записей пришедшей волны, что позволяет детально изучить факторы, влияющие на результаты восстановления. Исследуемая задача является некорректной, что приводит к ожидаемой неустойчивости численного решения, существенно уменьшить которую позволяет регуляризация, основанная на методе усеченного сингулярного разложения (SVD) (далее метод r-решения). В рамках предложенного подхода на основе анализа распространения энергии олны предлагается методика выбора наиболее информативной части имеющейся системы наблюдения для реального события цунами на Соломоновых островах 6 февраля 2013 г. Метод может быть полезен при разработке новых систем мониторинга цунами.
Работа связана с изучением нелинейных параболических систем, возникающих при моделировании и управлении нестационарными процессами фильтрации в подземной гидродинамике. Одна из постановок является системой, которая включает в себя краевую задачу второго рода для квазилинейного параболического уравнения с неизвестной функцией источника в правой части, а также уравнение изменения по времени этой функции. В другой постановке рассматривается проблема управления этой системой с управляющим воздействием граничного режима. Данные постановки существенно отличаются от обычных краевых задач и задач управления для параболических уравнений, в которых предполагается, что все входные данные должны быть заданы. Полученные в работе результаты представляют не только теоретический интерес, они имеют практическое значение для исследования различных фильтрационных процессов. Приведены некоторые примеры таких приложений, связанных с движением жидкости в трещиновато-пористых средах.
В работе рассматривается предобусловливатель блочного неполного обратного треугольного разложения первого порядка “по значению” BIIC-IC1 для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Рассматривается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, при этом в предобусловливателе число блоков кратно числам используемых процессоров и используемых потоков. Предлагается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, в котором для применения OpenMP технологии используется специальное упорядочение узлов сетки внутри подобластей, соответствующих расчетам на процессорах. Проводится сравнение времени решения задач методом сопряженных градиентов с предобусловливателем BIIC-IC1 с использованием MPI и гибридной MPI+OpenMP технологии на примере модельной задачи и ряда задач из коллекции разреженных матриц SuiteSparse.
Разработан алгоритм высокоточного численного решения эллиптического уравнения второго порядка при наличии в области нескольких интерфейсов, в том числе пересекающихся и невыпуклых. Для аппроксимации задачи в окрестности интерфейсов используются нерегулярные ячейки (н-ячейки), отсекаемые ими от регулярных ячеек прямоугольной сетки, и законтурные части этих ячеек. Для построения приближенного решения предложено: 1) выписывать дополнительные условия согласования в н-ячейках на интерфейсах, увеличивая количество согласуемых ячеек вблизи интерфейсов; 2) уменьшать общую часть интерфейса, заключенную в соседних ячейках и используемую для записи условий. Для решения краевой задачи Дирихле реализован hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов (hp-МКНК) в сочетании с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса: предобуславливание; распараллеливание с помощью OpenMP; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; многосеточный алгоритм. При решении различных тестовых задач исследованы сходимость hp-МКНК и обусловленность возникающих переопределенных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Проведено сравнение результатов, полученных МКНК, с результатами других авторов, использовавших метод MIB (англ. matched interface and boundary).
Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.
Рассмотрены интегралы, возникающие при решении граничных интегральных уравнений, ядром в которых является логарифмический или ньютоновский потенциал либо их градиенты, в случае, когда решение представляется кусочно-постоянным по панелям, в качестве которых в плоских задачах выступают прямолинейные отрезки, а в пространственных - плоские треугольники. Рассмотрены интегралы по одной панели, вычисляемые при использовании метода коллокаций, и разработана методика вычисления повторных интегралов по двум панелям, возникающих при использовании метода Галеркина. В плоских задачах для всех интегралов записаны точные аналитические выражения, удобные для практического использования; то же относится к интегралам по одной панели в трехмерных задачах. Для повторных пространственных интегралов предложена численно-аналитическая схема, предполагающая выделение особенностей в подынтегральных выражениях и их аналитическое интегрирование, а также численное интегрирование гладких функций.
We compare the error behavior of two methods used to find a numerical solution of the linear integro-differential Fredholm equation with a weakly singular kernel in Banach space C1[a,b]. We construct an approximation solution based on the modified cubic b-spline collocation method. Another estimation of the exact solution, constructed by applying the numerical process of product and quadrature integration, is considered as well. Two proposed methods lead to solving a linear algebraic system. The stability and convergence of the cubic b-spline collocation estimate is proved. We test these methods on the concrete examples and compare the numerical results with the exact solution to show the efficiency and simplicity of the modified collocation method.
В настоящей работе предложен алгоритм численного моделирования потока поверхностной диффузии для начальной периодической триангулированной поверхности. Разработаны алгоритмы перестройки триангуляции для обработки особенностей, возникающих при эволюции. Отдельно рассмотрены случаи особенности внутри куба, содержащего поверхность, на его гранях, ребрах и в углах. Работа алгоритма продемонстрирована рядом примеров.
В работе представлен алгоритм решения системы уравнений Аллена-Кана и Кана-Хиллиарда, которая описывает процесс спекания. Алгоритм не требует значительных по мощности вычислительных ресурсов и позволяет выполнить моделирование процесса спекания большого количества отдельных частиц на вычислительном узле с процессором Intel Xeon E5 2697 v3 и графическим ускорителем NVIDIA K40 за приемлемое время. Проведены эксперименты по моделированию спекания сорбентоподобных структур - упаковок сферических частиц, и на них показана эффективность алгоритма.
Рассмотрены подходы к моделированию многофазных потоков в нефтяном коллекторе при фиксировании рабочего давления на зонах перфорации активных скважин. Предложенный численный метод основан на неявном расчете давления и явном пересчете насыщенностей фаз в ячейках сетки на каждом временн´ом шаге. Представлено описание математической модели, общей вычислительной схемы, конечноэлементной аппроксимации поля давления. Для сохранения консервативности потоков смеси используется специальный метод балансировки, приводится его алгоритм. Проведены исследования на задаче сравнительного проекта SPE-10, для которой расчет потоков на зонах перфорации скважин при фиксированном давлении выполнялся с использованием двух подходов.