SCI Библиотека

Многие учащиеся часто не понимают , зачем нужно доказывать истины , которые и без доказательства кажутся ясными.Эта книжка написана для того , чтобы помочь учащимся разобраться в следующих вопросах.

1. Что такое доказательство?
2. Зачем нужно доказательство?
   3.Каким должно быть доказательство?
3. Что можно в геометрии принимать без доказательства?

Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящен доказательству следующей теоремы, найденной математиками Бояй и Гервином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разделена на две главы, в первой из которых изучаются многоугольники, а во второй — многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе.

Во второй главе наиболее интересна теорема Дена: существуют многогранники, которые имеют одинаковый объем (равновелики), но не являются равносоставленными.

Доказательству упомянутых двух теорем, ставших уже классическими, посвящена книга Вениамина Федоровича Кагана (1869–1953) “О преобразовании многогранников”. Эта небольшая ярко написанная книжечка пользуется заслуженной известностью. Вместе с тем, доказательство теоремы Дена в книге В. Ф. Кагана несколько неэлементарно: оно использует понятие о непрерывности, свойства систем линейных уравнений и т. п.

В последнее время швейцарскими геометрами были получены новые результаты, углубляющие теоремы Бояй—Гервина и Дена. Существование этих новых результатов, а также тот факт, что книга В. Ф. Кагана стала уже редкостью, побудили автора написать новую книгу по этому вопросу.

Теоремы Бояй—Гервина и Дена доказаны соответственно в § 1 и § 5. Приведенные здесь доказательства значительно отличаются от имеющихся в книге В. Ф. Кагана. В частности, доказательство теоремы Дена отличается большей элементарностью и простотой.

В §§ 2–4, 6 приведены результаты самых последних лет (они принадлежат Хадвигеру, Глюру, Сидлеру; исключение составляет теорема, приведенная в § 4, которая, по-видимому, является новой).

Наиболее простыми в книжке являются три-четыре первых параграфа. Для их понимания требуются знания в объеме примерно вось

Настоящая брошюра содержит элементарное изложение теории так называемых “гиперболических функций”, во многом аналогичных обыкновенным тригонометрическим функциям. Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачевского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии (см., например, книгу А. П. Нордена “Элементарное введение в геометрию Лобачевского”, М., Гостехиздат, 1953; по содержанию глава IX этой книги близка к настоящей брошюре). Но и независимо от этих приложений теория гиперболических функций может представлять значительный интерес для школьника и учителя средней школы, так как аналогия между гиперболическими и тригонометрическими функциями по-новому освещает многие вопросы тригонометрии.

Брошюра состоит из трех глав. Первая глава посвящена гиперболическому повороту и его применению к изучению свойств гиперболы; она может представлять и известный самостоятельный интерес. Основное место занимает глава II, в которой излагаются элементы теории гиперболических функций. Глава III тесно связана с брошюрой А. И. Маркушевича “Площади и логарифмы”, составляющей вып. 9 “Популярных лекций по математике”; она устанавливает связь теории гиперболических функций с теорией логарифмов.

Иное построение теории гиперболических функций, не использующее гиперболического поворота, содержится в статье Д. И. Перепелкина “Геометрическая теория гиперболических функций”, напечатанной в вып. 2 сборника “Математическое просвещение”, ОНТИ, М. — Л., 1934; к сожалению, в настоящее время этот сборник представляет собой библиографическую редкость. Читателю брошюры можно порекомендовать также книгу Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова “Аналитическая геометрия”,: ч. 1, Гостехиздат, М. — Л., 1948, где содержится обширный материал, примыкающий к изложенному в первой главе.

Брошюра рассчитана на участников и руководителей школьных математических кружков; она может быть также использована и в работе вузовских кружк

В курсе алгебры средней школы выводится формула для решения квадратного уравнения, а из курса физики видно, насколько необходима эта формула для решения многих физических вопросов (например, в задачах, связанных с равноускоренным движением, и т. д.).

Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней. Люди почти так же давно начали заниматься уравнениями высших степеней, как и квадратными уравнениями. Известны вавилонские клинописные таблички, в которых решаются некоторые кубические уравнения. Несмотря на то, что этим вопросом занимались так давно, основные факты об уравнениях высших степеней были открыты только в XIX веке. Эта лекция посвящена обзору некоторых основных свойств уравнений высших степеней.

Способ, которым мы будем выводить свойства уравнений высших степеней, резко отличается от того способа, при помощи которого в курсе алгебры средней школы выводят свойства квадратных уравнений. Почти все свойства квадратных уравнений выводятся из формулы для их решения, мы же не будем выводить формулу для решения уравнений высших степеней, а получим их свойства из некоторых общих алгебраических и геометрических соображений.

Дело в том, что для большинства уравнений высших степеней не существует такой формулы, как для уравнений второй степени. В тех же случаях, где такая формула есть, она настолько сложна, что из нее невозможно вывести никаких свойств уравнения. Но и независимо от этого, наш путь имеет еще одно преимущество: он делает более ясной истинную причину тех фактов, которые доказываются.

Все рассуждения, которые здесь будут приведены, годятся для уравнений любой степени. Часто они будут изложены в общем виде. В некоторых же случаях, когда рассуждение в общем случае принципиально то же, но удлиняет выкладку, мы будем приводить его лишь для уравнений третьей степени и только формулировать то, что получится в общем случае. Очень рекомендуется провести все рассуждения самостоятельно в общем случае.

Наконец, совсем выпущены д

Брошюра поможет разобраться учащимся в следующих вопросах: что такое доказательство и зачем нужно доказательство, каким оно должно быть и что в геометрии можно принимать без доказательства.

Эта книжка знакомит читателя с комплексными числами и простейшими функциями от них (включая функцию Н. Е. Жуковского с применением к построению профиля крыла самолёта). Изложению придана геометрическая форма. Комплексные числа рассматриваются как направленные отрезки, а функции — как отображения. Чтобы привести читателя к такому пониманию комплексных чисел, мы начинаем с геометрического истолкования действительных чисел и действий над ними. В основу книжки положена лекция, читанная автором для школьников 9-го и 10-го классов. Предварительного знакомства с комплексными числами от читателя не требуется.