Эта книга первоначально была задумана как последняя, заключительная часть сборника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», составляющего первые три выпуска «Библиотеки математического кружка». Однако в процессе работы выяснилось, что новая книга значительно отличается от предыдущих и прежнее название к ней уже мало подходит.
Основное отличие этой книги от первых выпусков «Библиотеки» заключается в тематике задач. Если в первых выпусках темы задач, как правило, черпались из элементарных областей математики, изучаемых в средней школе (арифметика, алгебра, геометрия), то в настоящей книге большая часть задач фактически относится к математическим дисциплинам, изучаемым только в высшей школе, — к теории вероятностей, проектной геометрии, топологии, интегральному исчислению, теории чисел. Назвать все эти задачи «задачами и теоремами элементарной математики» было бы уже очень большой натяжкой.
В то же время ни одна из собранных здесь задач не требует для своего решения знаний, выходящих за пределы школьного курса математики (кроме кратких разъяснений, приведённых в отдельных местах книги при условии их абсолютной необходимости для понимания метода решения соответствующих элементарных задач). Иначе говоря, большинство приведённых в книге задач относится к элементарным вопросам высшей (неэлементарной) математики — это обстоятельство и нашло в названии книги.
Настоящая брошюра содержит элементарное изложение теории так называемых «гиперболических функций», во многом аналогичных обыкновенным тригонометрическим функциям. Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачевского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии (см., например, книгу А. П. Норденa «Элементарное введение в геометрию Лобачевского», М., Гостехиздат, 1953; по содержанию глава IX этой книги близка к настоящей брошюре). Но независимо от этих приложений теория гиперболических функций может представлять значительный интерес для школьника и учителя средней школы, так как аналогия между гиперболическими и тригонометрическими функциями по-новому освещает многие вопросы тригонометрии.
Настоящая книга представляет собой третью часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
Она содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Как и первые две части «Избранных задач и теорем элементарной математики», настоящая третья часть состоит из условий задач, ответов и указаний и, наконец, решений. Как решения, так и ответы и указания даны ко всем задачам книги. Кроме того, там, где это необходимо, условия задач снабжены пояснениями.
Эта книга рассчитана на школьников старших классов — участников математических кружков, на руководителей школьных математических кружков, а также на руководителей и участников кружков по элементарной математике в педагогических институтах.
Значительную часть книги составляют «циклы» задач, связанных общей темой, причем задачи цикла вместе и в решении дают очень полное и законченное освещение данной геометрической задачи. Каждый такой цикл может служить темой одного-двух занятий математического кружка.
Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая — в пятый. Девочки делились своими впечатлениями об уроках, учителях, подругах, о новых предметах.
Шестиклассницу очень удивили уроки геометрии: «Вот чудеса, — говорила она, — пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они — равные.
Никак не пойму: зачем это нужно?». — «А как же ты урок будешь отвечать?» — спросила младшая девочка. «Выучу по учебнику… вот только очень трудно запомнить, где какую букву нужно ставить…».
В этой книжке рассказывается о том, как самому построить простой двухламповый радиоприемник с питанием от электросети переменного тока напряжением 120 или 220 вольт. Схема и конструкция выбраны так, что приемник требует самого незначительного количества покупных деталей, несложен в изготовлении и наладке. При этом приемник обеспечивает надежный и устойчивый прием местных и наиболее мощных иногородних радиовещательных станций на динамический громкоговоритель. Приемник имеет фиксированные настройки на три радиостанции, что приближает его к обычной трансляционной точке, но с тремя программами вещания вместо одной.
В этой книжке рассказывается о том, как самому построить простой двухламповый радиоприемник с питанием от электросети переменного тока напряжением 120 или 220 вольт. Схема и конструкция выбраны так, что приемник требует самого незначительного количества покупных деталей, несложен в изготовлении и наладке. При этом приемник обеспечивает надежный и устойчивый прием местных и наиболее мощных иногородних радиовещательных станций на динамический громкоговоритель. Приемник имеет фиксированные настройки на три радиостанции, что приближает его к обычной трансляционной точке, но с тремя программами вещания вместо одной.
В учебниках географии упоминается о многих минералах и горных породах, которые используются в промышленности. На уроках географии вам иногда показывают коллекции полезных ископаемых, однако рассмотреть хорошенько каждый камешек в отдельности, сравнить с другим, описать, а иногда и зарисовать, не хватает времени. Поэтому, когда вы совершаете экскурсии в природу, многое из того, что вы как будто уже «прошли» в школе, кажется вам незнакомым. А может быть, вы станете в дальнейшем геологами-разведчиками и горными инженерами. Путь этот, конечно, далек и требует прежде всего, чтобы вы хорошо освоили те знания, которые дает вам школа. Что же касается чудесного мира камня, с которым вы почти совсем еще незнакомы, то не будем терять времени и скорее возьмемся за работу. С чего и как начать — укажет вам эта книга. Возможно, вам не раз придется обращаться к ней за помощью, за советом и указаниями. Чтобы вам легче было пользоваться книгой, в самом конце ее имеются указатели минералов и горных пород. Итак, за работу, за увлекательные поиски того, что пока еще скрыто от вас!
Если у вас есть свободный от школьных занятий час-другой, не сидите дома, а идите куда-нибудь в поле, в лес, на реку – понаблюдайте за тем, как проводят зиму крылатые обитатели этих мест. Сколько интересного можно найти в лесу! Он только для глаз неопытного человека кажется безжизненным. На самом деле жизнь в природе не замирает ни в какое время года — только весной и летом она проявляется бурно и радостно, а осенью и зимой протекает тихо, незаметно, и нужен опытный, зоркий глаз натуралиста, чтобы ее подметить. Настоящая книгу научит юного читателя наблюдать за птицами.
Наглядные учебные пособия, сделанные руками ребят, — лучший подарок школе. А вы сможете смастерить много различных хороших пособий. Учителя бережно сохранят подарки, и не одно поколение ваших младших товарищей будет с благодарностью вспоминать тех, кто о них позаботился. Для вас же это будет интересное и увлекательное занятие, которое расширит кругозор, углубит знания, научит работать с инструментом и материалом. В книге дается описание работ из бумаги и картона, так как этот материал вы сможете легко достать, а работать с ним совсем не трудно. Изделия из папье-маше получаются легкие, прочные и красивые. Комбинируя папье-маше с другими несложными материалами, можно изготовить: для уроков географии — макеты и рельефные карты; для уроков истории — макеты и модели древних жилищ, утвари, вооружения; для уроков ботаники — точные копии («муляжи») овощей и фруктов.
На площадке, во дворе, на поляне затевают ребята различные веселые игры, состязаясь в силе и ловкости, в беге, в прыжках, в метании мяча на прицел и на дальность. Описание таких игр вы найдете в первом разделе книги. В жаркий, летний день бегут ребята к реке, к озеру, к морю купаться, загорать на солнышке. Немало увлекательных игр и на берегу и в воде. Искать и находить, под прикрытием леса подкрадываться к противнику и ускользать от него — вот что увлекает ребят в играх, без которых не представишь себе ни поход, ни прогулку, ни экскурсию за город Зимой тоже много интересных игр на снегу и на льду, с санками, на коньках и на лыжах. Обо всех этих играх вы прочтете в данной книге.
