Предметом настоящей монографии является теория функций Дирихле, играющая исключительную важную роль в современной аналитической и аддитивной теории чисел. Главная цель автора заключается в изложении вопроса о распределении нулей L-функций Дирихле на комплексной плоскости.
Поэтому основное место в монографии занимают результаты, достигнутые в этой области за последнее десятилетие: теорема Page’а и теорема Siegel’я. Однако наряду с этим, в первых главах книги содержатся сведения об элементах теории рядов Дирихле и L-функций Дирихле в таком объёме, что читателю нет необходимости обращаться к специальным сочинениям по данному вопросу.
Глава первая излагает теорию некоторых числовых функций, которые носят название характеров. Изложение этой теории проводится новым единым методом, отличающимся от существующих в литературе.
Ветеринарная статистика и сельскохозяйственная литература далеко не полностью отражают количество отравлений животных ядовитыми растениями и весь размер потерь, которые несёт животноводство от этих отравлений. Имеющиеся данные случайны, накапливались эпизодически, поскольку дело касалось больших, бросающихся в глаза случаев отравлений. В действительности их значительно больше, но они часто регистрируются или под видом других заболеваний, с которыми имеют сходную клиническую картину, или в рубрике болезней от «неизвестных причин».
Несмотря на заглавие нашей книги, на нее отнюдь не следует смотреть как на произведение, дающее точное изложение идей Сен-Симона. Книга возникла из записи лекций, которые были организованы в 1823—1829 гг. учениками Сен-Симона, стремившимися ознакомить широкие круги с системой учителя. Но гениальный учитель сен-симонистов был менее всего систематическим мыслителем. Сложить его воззрения в систему — значило уже само по себе создать нечто новое. Надо было много несвязного связать, много недодуманного додумать. Ученики Сен-Симона дали в „Изложении учения“ нечто большее: они не только систематизировали доктрину учителя, они сделали из нее новые выводы, которых мы у самого Сен-Симона не находим, „Изложение учения“ — новый и большой шаг вперед в развитии социальных идей начала XIX века, новая ступень, соединяющая Сен-Симона с социальными мыслителями следующего поколения. Эту книгу можно и должно поэтому расценивать самостоятельно, независимо от той оценки, которую мы даем произведениям самого Сен-Симона и его идеям.
Перед Вами—страна, напоминающая по очертаниям старинный воинский сапог-ботфорт. Можно думать, что благодаря этому ее не трудно запомнить и, наоборот, нелегко спутать с какой-либо другой. Если я скажу, что этот «ботфорт» лежит на 40° широты, что его берега омывают синие воды теплого моря, что многие места внутри страны знамениты своими вулканами и горячими вулканическими ключами, что, наконец, примечательной особенностью этой страны являются многочисленные и удивительные остатки глубокой древности, то, надеюсь, Вы без особого труда определите имя этой страны-музея.
Очередной выпуск «Физико-математической библиотеки инженера» (первый выпуск — Карман и Био «Математические методы в инженерном деле») предназначается для инженеров — сотрудников научно-исследовательских институтов, конструкторов, аспирантов технических учебных заведений, физиков и механиков. Книга знакомит с основами важного раздела современной математики и с его приложениями.
Исследование непрерывных групп преобразований, открытых Ли, привело к созданию им самим и под его влиянием Энгелем, Киллингом, Шефферсом и Шуром обширной теории. Картан в своей диссертации дал многим из их результатов более строгое обоснование. Бианки и Фубини развили геометрические приложения теории.
Эта глава истории закрылась почти тридцать лет назад. Новая глава открылась около десяти лет назад вместе с углубленным развитием тензорного анализа, римановой геометрии и ее обобщений, когда непрерывные группы нашли применение в новейших физических теориях.
Классический период развития математического анализа — XVIII век — оставил в наследство математике так называемые элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений; тогда же был в основном выделен тот класс уравнений, в котором нахождение общего решения сводится к квадратурам или алгебраическим операциям.
Первая половина XIX в. проходит под знаком критики этого наследства в двух направлениях. С одной стороны, Коши ставит и для достаточно широкого класса уравнений разрешает задачу о существовании решения.
С другой стороны, Лиувилль доказывает невозможность нахождения в квадратурах общего решения специального уравнения Риккати, за исключением известных случаев, когда это решение выражается в виде комбинаций показательных и рациональных функций. Это открытие значительно обесценило отыскание новых случаев элементарной интегрируемости.
Настоящая монография возникла в результате совместной работы авторов в качестве руководителей ряда семинаров в Московском университете. Это в значительной мере определило содержание книги. Она не ставит своей целью дать энциклопедию качественных методов в теории дифференциальных уравнений; выбор материала обусловлен научными интересами авторов и общим направлением московской математической школы.
Разбираемые в этой книге темы объединены одной общей идеей: по существу это теория геометрических и даже, точнее, топологических свойств семейств интегральных кривых. Некоторым отступлением от этой программы являются главы II и III, где рассматриваются такие аффинные инварианты этого семейства, а также глава V, где мы имеем дело с метрикой некоторого семейства интегральных кривых. Ввиду такого плана монография в ней, в частности, совершенно не представлена столь богатая результатами и приложениями теория устойчивости по Ляпунову, бесспорно относящаяся к качественной теории дифференциальных уравнений.
В заключение укажем, что хотя работа над книгой проходила в тесном контакте между авторами, но отдельные главы написаны отдельными авторами. Именно: введение и гл. IV и V написаны В. В. Степановым, а гл. I, II и III — В. В. Немыченко.
Ко многому, что окружает нас в природе, мы привыкли с детских лет. Каждый из нас, например, привык к тому, что временами идёт дождь. Нам это кажется настолько простым и обычным, что мы не задумываемся над тем: а почему так бывает? И если вас, например, спросят: отчего идёт дождь? что вы на это ответите? В этой небольшой книжке мы постараемся ответить на два вопроса — почему день сменяется ночью, а ночь днём и почему изменяются времена года. Попутно придётся ответить и на некоторые другие вопросы.
Задачи книги ясно изложены автором; она может быть интересна преподавателям и изучающим высшую математику, желающим глубже познакомиться с ее логическими основами. Несколько позднее Э. Ландау, вынужденный, как еврей, эмигрировать из Германии, издал в Голландии учебник дифференциального и интегрального исчисления, отвечающий его повышенным требованиям к математической строгости изложения.
Учебник этот будет издан Госиздоном. Настоящая книга должна рассматриваться как необходимая вводная часть этого учебника.