Предлагаемая вниманию читателей книга Блисса «Лекции по вариационному исчислению» заполняет существенный пробел в математической литературе, посвящённой вариационным задачам. В ней с исчерпывающей полнотой изложены результаты так называемого «классического» направления в вариационном исчислении, развивающего и обобщающего методы, восходящие ещё к Якоби и Вейерштрассу.
В первой, более элементарной части книги дано весьма полное и строгое изложение задачи об исследовании на безусловный минимум функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных функций одной независимой переменной. Вторая, наиболее интересная часть книги посвящена задачам на условный экстремум функционалов того же типа. В ней с исключительной чёткостью изложена теория наиболее общих задач на условный экстремум, причём многие результаты впервые излагаются в учебной литературе.
Книга Блисса, безусловно, представляет значительный интерес и учащимся вузов, и аспирантам, и студентам физико-математических факультетов. Однако наряду с этим она имеет один существенный недостаток — она может создать совершенно ложное представление о роли русских и советских ученых в развитии вариационного исчисления. На протяжении всей книги отсутствуют даже упоминания о трудах петербургского кружка Эйлера, ни разу не упоминаются работы русских и советских ученых.
Теория конгруций прямых появилась на свет почти одновременно с теорией поверхностей. Вопросы геометрической оптики подвели непосредственно к исследованию нормальной конгруенции, например, к задаче отражения или преломления нормальной конгруенции лучей. Проблема прохождения света через кристаллы вводит уже конгруенцию общего типа.
При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т. д. Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.
Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия эллиптической поверхности.
К курсу включены также исторические сведения.
Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А. З. Рыбкину за его исключительно плодотворную совместную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.
Книга «Граничные свойства однозначных аналитических функций», выпущенная Издательством Московского государственного университета в 1941 г., была последним большим трудом выдающегося советского математика Ивана Ивановича Привалова (1891—1941). Книга эта представляла завершение его научной работы за четверть века и вместе с тем являлась расширенным и переработанным изданием замечательной его диссертации («Интеграл Cauchy», Саратов, 1919).
Будучи единственной в математической литературе монографией по граничным свойствам аналитических функций, вопросам, в которых теория аналитических функций смыкается с теорией функций действительного переменного, книга И. И. Привалова завоевала себе почетное место в библиотеках математиков — специалистов по анализу и весьма быстро исчезла из продажи.
В книге А. Зоммерфельда «Дифференциальные уравнения в частных производных физики», являющейся шестым томом его лекций по теоретической физике, последовательно изложен круг вопросов, входящих обычно в курс методов математической физики (ряды Фурье, проблемы, связанные с рассмотрением уравнений в частных производных второго порядка, цилиндрические и шаровые функции, уравнения колебаний мембран и т. д.).
В отличие от книг, имеющихся по этому разделу математики, в книге Зоммерфельда много внимания уделено физической стороне дела: рассмотрению физических проблем и конкретных задач. В конце книги в виде задач дан полезный дополнительный материал, непосредственно примыкающий к основному тексту.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, прежде всего физиков всех специальностей; ее с интересом прочтут также математики, занимающиеся вопросами теоретической физики.
Курс дифференциальных уравнений в объёме нашей университетской программы по необходимости слагается из глав, соответствующих различным отделам научной теории этой ветви математического анализа. Элементарные методы интеграции, теоремы существования, особые решения, общая теория линейных уравнений — эти главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли, с применением методов теории функций действительного и комплексного переменного, с методами линейной алгебры и т. п.
Современное понятие о математической строгости, постепенно внедряющееся в курсы анализа, не позволяет строить учебник дифференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную связь отделов — например, элементарных методов интегрирования и теорем существования.
Далее, развитие самой теории и современных её приложений требует введения в университетский курс новых вопросов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных методов, с другой стороны, с теоремами колебаний для линейных дифференциальных уравнений.
В этой книге помещены знаменитая докторская диссертация гениального русского ученого Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованная в издании Харьковского математического общества в 1892 г., и три статьи А. М. Ляпунова, в известной мере дополняющие диссертацию. Диссертация и статьи написаны Ляпуновым больше, чем пятьдесят лет тому назад. Однако только в последние двадцать лет выявилась та огромная роль, которую имеют исследования Ляпунова для современной техники.
Текст диссертации А. М. Ляпунова воспроизводится без изменений; внесены лишь те исправления, которые были указаны самим А. М. Ляпуновым в статье «К вопросу об устойчивости движения». Кроме того, названия параграфов, данные А. М. Ляпуновым только в оглавлении, вставлены также в текст книги. Аналогичным образом без изменения воспроизводится и текст статей.
В конце книги помещены небольшие примечания к тексту А. М. Ляпунова, сделанные членом-корреспондентом Академии наук СССР Н. Г. Четаевым. Ссылки на эти примечания даны в тексте в квадратных скобках.
Второе издание «Лекций» в основном воспроизводит текст вышедшего в 1941 г. первого издания. Внесено несколько незначительных дополнений и исправлены замеченные опечатки.
Моим товарищам по научной и педагогической работе и моим слушателям приношу глубокую благодарность за ряд исправлений и уточнений в тексте, которые были ими указаны.
Эта книга представляет собою руководство, написанное применительно к действующим учебным программам наших университетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.
Не желая, однако, чрезмерно увеличивать объём книги, я был вынужден всё же оставить в стороне много важного материала теорию производных, более общие теории интегрирования, вопросы, пограничные с теорией функций комплексной переменной и многое другое. Изложению этих вопросов я предполагаю посвятить особую книгу.
Теория функций вещественной переменной излагается в университетах, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя предполагается свободное владение основными понятиями анализа иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются известными в объёме любого обстоятельного курса дифференциального и интегрального исчисления.
Конструктивная теория функций берёт своё начало в замечательных работах нашего великого математика П. Л. Чебышева по теории интерполирования, по механическим квадратурам, по проблеме моментов и особенно по многочленам, наименее уклоняющимся от заданной функции. Исследования П. Л. Чебышева были продолжены его учениками А. Н. Коркиным, Е. И. Золотарёвым, А. А. и В. А. Марковыми.
Дальнейшее развитие конструктивной теории также связано с именами русских и советских учёных. Из них в первую очередь следует указать на С. Н. Бернштейна, который, собственно, и оформил конструктивную теорию функций как самостоятельную математическую дисциплину, поставив и разрешив ряд основных проблем этой отрасли анализа. Кстати, и самый термин «конструктивная теория функций» предложен С. Н. Бернштейном.
