Статья: ИНТЕГРИРУЕМЫЕ БИЛЛИАРДЫ НА МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ (2025)

Метод случайных интегральных направляющих функций — это подход в теории вероятностей и математической статистике, который используется для анализа и обработки случайных процессов, а также для решения задач, связанных с случайными величинами и их характеристиками.

В этом докладе представлены результаты о существовании и локализации решений нелокальных дифференциальных задач в абстрактных пространствах.

Современное математическое образование ориентировано на формирование системных знаний, развитие логического и алгоритмического мышления, а также способности применять полученные знания на практике. В этой связи актуальным представляется обращение к мнемотехнике - древнему и, в то же время, современному инструменту оптимизации процессов памяти.

Современные федеральные государственные образовательные стандарты основного общего и среднего общего образования акцентируют внимание на достижении учащимися не только предметных, но и метапредметных результатов. Среди последних особое место занимает умение использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы, для решения познавательных и практических задач.

Формула Стокса - это фундаментальная теорема математического анализа, которая связывает интеграл по поверхности от ротора векторного поля с циркуляцией этого поля по границе поверхности. Она находит своё применение во многих технических дисциплинах таких как: теория поля, электростатика, гидродинамика, магнитостатика, инженерия и т. п.

Доклад посвящен изучению тензора инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом векторном пространстве (V, g).

Теорема Ньютона в планиметрии - красивый геометрический факт, открытый Исааком Ньютоном. Она применяется в решении олимпиадных заданий и не входит в программу школьного курса. Круг решаемых ею задач довольно узкий и практическое применение в физике, инженерии и других областях нигде не упоминается. Ее формулировка: во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Современная образовательная парадигма, основанная на требованиях ФГОС, акцентирует внимание не только на предметных знаниях, но и на формировании метапредметных результатов обучения. В условиях перехода к деятельностному подходу особую значимость приобретает внедрение учебно-исследовательской деятельности (УИД) как средства развития универсальных учебных действий (УУД).

Дифференциальный оператор краевой задачи с функциями ограниченной вариации — это математический объект, который возникает в контексте краевых задач для дифференциальных уравнений и связан с операторами, действующими на функции ограниченной вариации.

С помощью метода мажорант можно решать нестандартные уравнения; уравнения в левой и правой части которых находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, где количество переменных превышает количество уравнений, задачи с параметром.

Сбор и анализ статистических данных - тема актуальная и в школе важно смещать акцент с теоретических вычислений на формирование навыков работы с реальными данными.

В современном мире информационных технологий математика занимает ключевое место, являясь базой для разработки алгоритмов, анализа данных, криптографических методов и многих других аспектов профессиональной деятельности специалистов в сфере ИТ.

У современных студентов СПО всё чаще наблюдается отсутствие мотивации к изучению математики. В частности это связано с тем, что они не видят связи реальных, актуальных проблем общества с математической теорией и практикой.

Игровые технологии в образовании - это совокупность разнообразных методов, средств и приёмов организации педагогического процесса в форме различных игр. Они служат для повышения мотивации, активизации познавательной деятельности и создания позитивной психологической атмосферы. Ключевые преимущества заключаются в развитии навыков решения проблем, командной работы и креативного мышления.

Узел — это пространственная замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Под изотопией узла понимается его непрерывная деформация в пространстве как тонкой эластичной нити. Два узла называются изотопными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью изотопии.

Экономическая задача требует методического анализа, а не просто подстановки данных в формулы [3, с.72]. Ее решение требует последовательного методического подхода - от идентификации проблемы через корректные расчеты к критической интерпретации результатов.

Среди множества видов интегрируемых биллиардов интересно изучить топологические свойства вполне интегрируемого биллиарда с потенциалом Q (х, у), удовлетворяющим теореме Козлова [2], одного из обобщений математического биллиарда.

По Дж. Д. Биркгофу, биллиард в эллипсе интегрируем: звенья траектории лежат на прямых, касательных к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), принадлежащей тому же софокусному семейству, что и граничный эллипс. В. В. Ведюшкина значительно расширила класс интегрируемых биллиардов, введя биллиардные книжки.

Как известно, на множестве натуральных чисел замкнуты только две из четырёх основных арифметических операций. Это сложение и умножение.

Образование вообще, и математическое образование, в частности, неразрывно связано с уровнем развития общества. Оно не только зависит от него. Оно само определяет и сегодняшний, и перспективный вектор развития. Российское общество трансформируется.

Формирование понятия функции осуществляется поэтапно: в 7 классе вводится интуитивное понятие функции как соответствие между множествами.

Производная — одна из самых сложных тем школьного курса математики. Именно на этом материале у выпускников часто возникают трудности. В ЕГЭ существует задание повышенного уровня сложности — задание с параметром, многие учащиеся даже не приступают к его решению.

Рассматривается стохастическое алгебро-дифференциальное включение, чей матричный пучок регулярен и удовлетворяет условию ранг-степень, с использованием симметрической производной в среднем.

Исследование прикладных задач на основе свойств кривых способствует формированию междисциплинарных связей между естественными науками и математикой. Например, известно, что тело, движущееся в поле тяготения Земли, описывает траекторию, которая, при условии однородности поля и пренебрежении сопротивления воздуха, является параболой.

Исследование прикладных задач на основе свойств кривых способствует формированию междисциплинарных связей между естественными науками и математикой. Например, известно, что тело, движущееся в поле тяготения Земли, описывает траекторию, которая, при условии однородности поля и пренебрежении сопротивления воздуха, является параболой.

Современная информатика активно использует аппарат математической логики для описания и оптимизации обработки данных. «Дескриптивные логики являются универсальным инструментом для формального описания знаний: они предоставляют выразительные средства для формализации спецификаций и онтологий» [1].

Общеизвестна теорема О. Л. Коши, о том, что выпуклый многогранник изгибаемым не бывает, он является жестким. Но математики задавались вопросом: могут ли быть нежесткими невыпуклые многогранники? Может ли форма многогранной поверхности задаваться однозначно своими гранями, или она может изменяться за счет изменения двугранных углов? В 1776 г. Эйлер предположил, что это невозможно, если фигура замкнута. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников.

Нули семейства многозначных конических функций на метрическом пространстве с ТВП-значной конической метрикой — это точки в пространстве, в которых значение функции содержит тривиальный элемент (нуль) топологического векторного пространства (ТВП).

Каузальные операторы и импульсные характеристики — ключевые понятия в теории систем, управлении и математической физике, связанные с описанием поведения систем и их свойств.

Математическая логика - фундаментальная основа для формирования критического мышления и алгоритмического подхода к решению задач. Она широко применяется в разработке программного обеспечения, создании систем искусственного интеллекта, криптографии и кибербезопасности.

Разделённая разность — это обобщение понятия производной для дискретного набора точек. Она используется в численных методах, интерполяции функций и других областях математики.

Общеобразовательная дисциплина «Математика» является обязательной частью общеобразовательного цикла образовательной программы в соответствии с ФГОС СПО по профессии или специальности. Содержание программы направлено на достижение результатов ее изучения в соответствии с требованиями ФГОС СОО с учетом профессиональной направленности ФГОС СПО. Для решения задач и достижения целей изучения дисциплины в рабочей программе выделяется основное и профессионально ориентированное содержание.

Относительная топологическая степень селектируемых многозначных векторных полей в банаховых пространствах — это топологический инвариант, который позволяет изучать свойства многозначных векторных полей в контексте их взаимодействия с фиксированными множествами и отображениями.

В современном экономическом пространстве предприятия сталкиваются с необходимостью оперативного анализа больших объемов финансовых данных для принятия эффективных управленческих решений. Традиционные методы анализа часто оказываются недостаточно точными или громоздкими - возрастает роль математической статистики и искусственного интеллекта (ИИ) в обработке данных и прогнозировании ключевых финансовых показателей, таких как прибыль.

Равновесие Нэша описывает ситуацию, когда ни один из игроков не может улучшить свой результат, изменив стратегию в одиночку. В отличие от кооперативных моделей, оно используется в условиях конкуренции, когда соглашения между игроками невозможны. Данный инструмент помогает моделировать устойчивое распределение ресурсов, транспортных потоков, объектов городской инфраструктуры и рекламных площадей.

Математика является одной из основных фундаментальных наук, на которую опираются школьники при изучении физики. Без математического аппарата невозможен процесс решения задач, вывод физических законов и закономерностей. В современном школьном образовании существует проблема отсутствия согласованности между учебными курсами физики и математики, что значительно осложняет задачу учителей физики.

Согласно Приказу Министерства просвещения Российской Федерации от 12.08.2022 № 732 «О внесении изменений в федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. № 413», финансовая грамотность стала обязательным компонентом математического образования на всех уровнях. Задачи с экономическим содержанием включены в обязательную часть ЕГЭ по профильной математике. Однако практика показывает острое противоречие: по данным ФИНИ, только 28,8 % выпускников успешно решают экономические задачи ЕГЭ.

Известно, что биллиард в эллипсе интегрируем по Лиувиллю в том смысле, что существует два функционально независимых почти всюду первых интеграла: один соответствует энергии системы, другой — параметру софокусной квадрики.

Wolfram - это интегрированная среда для технических вычислений компании Wolfram Research, основателем и руководителем которой является британский ученый Стивен Вольфрам [3]. Wolfram включает в себя: систему компьютерной алгебры Mathematica, язык программирования Wolfram Language и онлайн-сервис Wolfram Alpha

Векторные поля представляют собой одну из фундаментальных и наиболее практически значимых концепций современной математики и физики. Одной из центральных характеристик векторного поля на замкнутой кривой является его вращение — целочисленная величина, описывающая полное изменение направления векторов поля при обходе контура.

Приводятся дифференциально-геометрические доказательства двух наблюдений, обнаруженных в работе Г. В. Белозеровым и А. Т. Фоменко при описании функций вращения плоского биллиарда.

Дифференциальные игры - это раздел математической теории управления и теории игр, который изучает конфликтноуправляемые процессы, развивающиеся во времени согласно законам, описываемым дифференциальными уравнениями. Это математические модели для анализа ситуаций, где несколько сторон (игроков) с различными интересами управляют одним и тем же динамическим объектом или системой.

Современные технологии стремительно проникают в образовательный процесс, предлагая новые возможности для улучшения качества обучения. Одной из перспективных областей внедрения искусственного интеллекта (далее ИИ) становится создание персонализированных учебных материалов для младших школьников. Этот инструмент способен значительно облегчить труд педагога, делая уроки интереснее и эффективнее.

При решении текстовых задач в курсе алгебры 7-9 классов обучающиеся составляют краткую запись, а затем переводят на математический язык с использованием уравнений или выражений.

Качество математического и программного обеспечения решения метеорологических задач во многом определяется точностью аппроксимации аналитическими выражениями различного рода функциональных зависимостей, представляемых в виде графиков.

Сложный и динамичный характер современной служебно-боевой деятельности, а также внедрение современных информационных технологий, новых образцов вооружения и военной техники обусловливают необходимость совершенствования системы профессиональной подготовки военных специалистов [1]. В этой связи требуется создание автоматизированной системы полидисциплинарного контроля по общеинженерным дисциплинам, которая обеспечит расширенный и ускоренный доступ курсантов к систематизированной инженерной информации.

Историческая потребность в описании трёхмерного пространства привела к созданию кватернионов. Ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон совершил прорыв 16 октября 1843 года во время прогулки по мосту Брум Бридж в Дублине, сформулировав фундаментальное соотношение для трёх мнимых единиц

В математических разделах численного анализа и математического анализа тригонометрический многочлен — это конечная линейная комбинация функций sin(nx) и cos(nx), где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел. Коэффициенты могут быть действительными числами для функций с действительными значениями. Для комплексных коэффициентов такая функция ничем не отличается от конечного ряда Фурье. Тригонометрические многочлены широко используются, например, в тригонометрической интерполяции, применяемой для интерполяции периодических функций. Они также используются в дискретном преобразовании Фурье.

конце XX - начале XXI веков в связи с открывшимися новыми возможностями приложений к актуальным задачам математики, механики, теории управления, физики и других наук, возникла необходимость в существенном расширении классов рассматриваемых направляющих функций, впервые введенных в рассмотрение М. А. Красносельским и А. И. Перовым (см., например, (8, 9]). В дальнейшем метод направляющих функций был развит в различных направлениях и оказался успешным в решении ряда задач теории дифференциальных включений.

Как результаты контрольной работы влияют на учебный процесс? Как правильно организовать урок, чтобы контрольная стала его неотъемлемой частью? Как оценить знания объективно? Контрольная работа по математике - это письменное задание, цель которого - проверить, насколько хорошо ученик усвоил материал за определённый период. Есть два вида таких работ: стандартные, где нужно применить уже имеющиеся знания, и работы с дополнительными заданиями, которые требуют поиска новых решений. Основная задача контрольной - оценить уровень знаний, полученных как на уроках, так и в процессе самообразования.

Показательные уравнения и неравенства занимают особое место в курсе алгебры и начал анализа, так как связаны с ранее изученными понятиями степени и функции и служат основой для дальнейшего освоения логарифмов. Они важны не только в математике, но и находят широкое применение в естественных науках — при моделировании роста популяций, распространения вирусов, радиоактивного распада, а также в демографии, экономике и физике.

Биллиард с потенциалом Гука. Это часть плоскости, ограниченная дугами софокусных эллипсов и гипербол, в котором на материальную точку (биллиардный шар) действует точечный упругий потенциал Гука, размещённый в центре софокусного семейства квадрик.

Доклад посвящен связи двух, на первый взгляд, весьма далеких областей математики — теории проективно эквивалентных метрик и интегрируемых биллиардов на столах, ограниченных квадриками. Подробный обзор современных результатов о свойствах таких биллиардов, как классических так и обобщенных (систем на комплексах с перестановками — предложенных В. В. Ведюшкиной биллиардных книжках) приведен в обзоре А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной.

Функциональная математическая грамотность (ФМГ) — ключевой навык 21 века. С целью формирования ФМГ ведется разработка курса внеурочной деятельности для обучающихся 8 класса. Курс будет включать деловые игры, межпредметные задачи, а также практико-ориентированные комплексные задания.

Семья Бернулли - швейцарская семья, подарившая миру несколько знаменитых учёных из разных областей и наук. Наиболее известными из них являются Якоб, Иоганн и Даниил.

В современном мире математическое образование играет ключевую роль в формировании критического мышления, логических навыков и умения решать проблемы. Однако, традиционные методы обучения математике не всегда позволяют достичь желаемых результатов. В связи с этим, актуальной задачей становится поиск и внедрение эффективных образовательных технологий, способных повысить качество обучения математике. Одним из перспективных направлений является использование цифровых образовательных ресурсов (ЦОР).

Прикладные аспекты логарифмических уравнений в школе важны для развития познавательной активности и практических навыков [1]. Они связывают математику с реальностью, повышают мотивацию и глубже помогают понять предмет. Тема логарифмов сложна и часто представляется в учебниках формально, без прикладного контекста, что создает у учеников впечатление их искусственности.

В настоящей работе рассматривается краевая задача с нелинейным граничным условием и разрывными решениями. Такая задача моделирует процесс деформаций разрывной стилтьесовской струны под воздействием внешней нагрузки. Форма струны описывается интегро-дифференциальным уравнением с производной по мере и обобщенным интегралом Стилтьеса, введенным Ю. В. Покорным в [1]. Предполагается, что концы струны упруго закреплены. Кроме того, на перемещение левого конца струны в вертикальном направлении установлено препятствие, представленное отрезком [—ш, ш].

Моделирование процесса адаптивной системы автоматического управления (САУ) центральной системой кондиционирования воздуха (ЦСКВ) в 10 летнем режиме выполним с помощью МАТЬАБ 7.9 и 81шиНпк 7.4.

Рассмотрим область на плоскости, ограниченную дугами софокусных парабол. Зададим направление силы тяжести перпендикулярно директрисам парабол из этого семейства. Тогда биллиард с гравитационным потенциалом в данной области является интегрируемым. В параболических координатах интегралы данной системы имеют следующий вид.

В работе [1] А. Т. Фоменко был введен новый класс биллиардов. Пусть материальная точка движется равномерно и прямолинейно внутри окружности и попадает на границу в точке х. Повернув радиус-вектор точки х на фиксированный угол а, точку на конце полученного радиус-вектора обозначим буквой у. Продолжим движение частицы из точки у по лучу, выходящему из у под тем же углом к границе, что и в точке х. В данном случае движение “по” или “против” часовой стрелки сохраняется. Другими словами, частица продолжает движение, выходя из новой точки под тем же углом и “проскальзывая” вдоль границы. На основании этого такой класс систем был назван “биллиардами с проскальзыванием на угол а”.

Исследование типичных ошибок при решении тригонометрических уравнений и неравенств выявило, что причины затруднений кроются не столько в отсутствии алгоритмических умений, сколько в несформированности целостного понимания структуры и логики тригонометрии как раздела математики. Дополнительные сложности возникают при анализе учебнометодических комплексов, используемых в общеобразовательных школах. Различные УМК предполагают разнообразные подходы к введению и развитию тригонометрических понятий, используют различные системы упражнений, что препятствует формированию единой методологической основы и затрудняет переход обучающихся на следующий уровень образования.

Изучение тригонометрии в школьном курсе математики имеет большое значение для формирования у учащихся целостной математической картины мира. Тригонометрические понятия обеспечивают связь между алгеброй и геометрией, способствуют развитию аналитического мышления, пространственных представлений и навыков моделирования реальных процессов [2].

Разностные уравнения являются дискретным аналогом дифференциальных уравнений. Они используются для описания процессов, которые изменяются во времени или пространстве при дискретной структуре данных. Такие модели применяются в физике, инженерии, экономике, биологии и ряде других областей. В современных исследованиях особое значение имеет не только теория, но и практическая реализация численных методов, позволяющая получать точные и устойчивые решения за короткое время.

Современный образовательный процесс сложно представить без цифровых инструментов. Среди них электронные таблицы занимают особое место, являясь не просто средством автоматизации расчетов, но и мощной дидактической средой, способной коренным образом изменить подход к решению математических задач. Часто ученики воспринимают математику как набор абстрактных формул и правил. Электронные таблицы позволяют «оживить» эти формулы, превратив их в динамические модели, исследование которых развивает глубинное понимание предмета.

С целью наиболее полного разбора самых сложных разделов курса математики предлагается проводить лекции по математике совместно лектором-математиком и лектором-физиком. Использование междисциплинарных бинарных лекций, относящихся к современным инновационным технологиям обучения [1-4], позволяет всесторонне раскрыть рассматриваемые темы, показать глубокую взаимосвязь курсов математики и физики, что способствует лучшему пониманию и усвоению сложного материала указанных дисциплин.

Мы располагаем тремя различными тактическими приемами: А, 2, 3. Противник может в свою очередь применить три ответных приема: В г, В 2, В 3. Наша задача - выполнение тактического приема с максимально возможной эффективностью. Задача противника - снизить эффективность нашего тактического приема до возможного минимума. Эффективности нашего ¿-го тактического приема при применении противником у-го ответного приема М¿у заданы платежной матрицей.

Преподавание математики иностранным гражданам, обучающимся в военных вузах, представляет собой сложную и многогранную задачу, требующую от преподавателя не только глубоких знаний предмета, но и владения специальными методиками, учитывающими лингвистические, культурные и образовательные особенности иностранцев.

Рассматривается биллиард без трения с абсолютно упругим отражением внутри кольца, образованного двумя софокусными эллипсами, под действием кулоновских потенциалов, сосредоточенных в фокусах эллипсов Ух и У2, е некоторыми зарядами 71 и 72 соответственно. Благодаря результатам В. В. Козлова известно, что такой биллиард является интегрируемым по Лиувиллю в кусочногладком смысле. Автором найдена формула дополнительного первого интеграла, выписаны формулы разделяющихся переменных.

«Где в жизни пригодятся синусы и косинусы?» — этот вопрос знаком каждому учителю математики. Уменьшить разрыв между формулами и практикой помогут задачи, демонстрирующие практическое применение математики. Важно, чтобы ученики видели: они изучают не просто формулы, а инструменты для решения реальных проблем.

Цифровая трансформация образования ставит перед преподавателями математики сложную дилемму: с одной стороны - мощные вычислительные системы, открывающие новые возможности [1], с другой - риск того, что они превратятся в инструмент для списывания. Система Wolfram, обладающая колоссальными возможностями, является ярким примером этого противоречия. Для одного студента Wolfram - это трамплин для понимания математических концепций, для другого - лишь кратчайший путь к получению заветного ответа. Задача преподавателя - создать такие педагогические условия, при которых первый сценарий становится единственно возможным. Для избежания списывания нужно менять саму философию заданий. Рассмотрим на конкретных примерах.

Пусть £ — п-осный эллипсоид в евклидовом пространстве К”. Рассмотрим следующую динамическую систему. Материальная точка единичной массы движется внутри области, ограниченной £, под действием потенциала Гука коэффициента к. Предполагается, что центр поля сил совпадает с центром эллипсоида, а отражение частицы от £ абсолютно упругое. Оказывается, такая биллиардная система является интегрируемой по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле. Ее первые интегралы можно найти с помощью метода, описанного В. В. Козловым в работе [1]. Цель настоящей работы — описать полу-локальное устройство слоения Лиувилля этой системы вблизи слоев, отвечающих невырожденным особенностям.

Математика - фундаментальная и точная наука, которую обучающиеся в основном воспринимают как что-то абстрактное и далекое от реальной жизни. Из-за этого снижается мотивация к изучению данного предмета. Чтобы исправить эту ситуацию в современном образовании все чаще используются задачи, имеющие практико-ориентированную направленность. Ведь благодаря им учащиеся понимают важность математики как инструмента для решения реальных проблем.

Формирование математической грамотности учащихся основной школы является одной из приоритетных задач современного образования. Под математической грамотностью понимается способность человека формулировать, применять и интерпретировать математику в разнообразных контекстах реального мира [1, 2]. Это предполагает не только владение предметными знаниями, но и умение выявлять математическую суть проблемы, строить модели, рассуждать и интерпретировать полученные результаты.

Современное школьное математическое образование в России переживает период активной цифровой трансформации, обусловленной стремительным развитием технологий искусственного интеллекта (ИИ, на англ. AI - Artificial intelligence) [1,2]. Российский рынок образовательных технологий демонстрирует устойчивый рост, при этом особое внимание уделяется внедрению AIрешений в процесс обучения математике. Актуальность данной темы определяется необходимостью сохранения конкурентоспособности российского образования в условиях глобальной цифровизации.

Гиперболические функции, прообразом которых стала цепная линия, прошли долгий путь развития — от первых исследований Меркатора и Риккати до строгого обоснования в трудах Ламберта и Эйлера.

Число Хееша — это числовая характеристика плитки, равная максимальному числу слоёв копий одной и той же фигуры, которые могут её окружать в замощении. Данное понятие позволяет изучать локальные свойства замощений и способность отдельных замощений к неограниченному росту [1].

В связи с ускоряющимися темпами развития, соответственно меняется общество, закономерно, что происходят изменения и в образовании. В связи с этим, современная школа должна подготовить своих учеников к жизни в быстроменяющемся мире.