Cтатья посвящена применению авторской процедуры ортогонализации финитных функций, не разрушающей их конечные носители, к сплайнам Шенберга третьей степени. Описывается общий алгоритм модификации материнского сплайна Шенберга в рамках этой процедуры ортогонализации. Показано, что в случае использования восьми ступенчатых функций для модификации материнского сплайна Шенберга третьей степени достигается ортогонализация порождаемого им сеточного набора сплайнов без изменения конечных носителей сплайнов. Найдены шестнадцать вариантов ортогонализации сплайнов Шенберга третьей степени ступенчатыми функциями. В первой группе восьми вариантов все коэффициенты модифицирующих ступенчатых функций имеют действительные значения, но сплайны Шенберга после такой модификации не являются четными или нечетными функциями. В каждом из восьми вариантов второй группы два коэффициента являются комплексными, а остальные шесть коэффициентов имеют действительные значения. Модифицированные сплайны Шенберга второй группы представляют собой суммы четной и нечетной функций. Доказана теорема о порядке аппроксимации любой функции пространства Соболева линейными комбинациями построенных ортогональных сплайнов Шенберга.
На основе экспериментов по захвату и перемещению груза системой самоорганизующихся частиц в магнитном поле моделируется динамика такого процесса. Транспортная система частиц представляет собой самособирающуюся структуру в виде одной замкнутой цепочки (двумерный случай) или двух параллельно расположенных замкнутых цепочек (трехмерный случай). В результате действия внешнего магнитного поля частицы приводятся во вращение и перемещаются поступательно. Учитывается гидродинамическое взаимодействие между всеми частицами и грузом, который с внешним полем не взаимодействует. Математическая модель включает в себя уравнения гидродинамики вязкой жидкости и динамики частиц в приближении малых чисел Рейнольдса. Для численного моделирования и визуализации полученных результатов проведены использовался специально разработанный программный комплекс. Проведенные численные расчеты подтвердили возможность управляемого захвата и переноса груза в случае расположения системы частиц и груза в одной плоскости. В трехмерном случае проведенное численное моделирование показывает, что захват груза и его перемещение транспортной структурой в виде параллельно расположенных замкнутых цепочек частиц не происходит. Полученные результаты качественно согласуются с известными экспериментами. Предлагаемая модель может быть использована для расчета динамики системы частиц, самоорганизующихся в замкнутые цепочки, в жидкости в присутствии посторонних тел.
В работе предложен новый квадратно-корневой метод параметрической идентификации градиентного типа для дискретных линейных стохастических систем в пространстве состояний с неизвестными входными сигналами. Разработан новый алгоритм вычисления значений критерия идентификации и его градиента на основе квадратно-корневой модификации метода Гиллейнса – Де-Мора, использующий численно устойчивые матричные ортогональные преобразования. В отличие от известных решений, в данной работе применены оригинальные методы дифференцирования матричных ортогональных преобразований. Построена и теоретически обоснована новая модель чувствительности, позволяющая вычислить значения градиента критерия идентификации через частные производные оценок вектора состояния по идентифицируемым параметрам. Основные результаты включают новые уравнения квадратно-корневой модели чувствительности и квадратно-корневой алгоритм вычисления значений критерия идентификации и его градиента. Вычислительные эксперименты выполнены в системе MATLAB на примере решения задачи численной идентификации стохастической модели диффузии с неизвестными граничными условиями. Эффективность предложенного алгоритма подтверждается сравнением методов градиентного и безградиентного типов. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют работоспособность предложенного подхода, который может быть использован для решения практических задач идентификации параметров математических моделей, представленных дискретными линейными стохастическими системами в пространстве состояний при отсутствии априорной информации о входных сигналах.
В настоящей статье предложен метод оптимизации расположения узлов аппроксимации, реализованный на примере функции Рунге. В основу предложенного метода заложена идея о нелинейности пространства по осям декартовой системы координат. Для управления нелинейностью использована полиномиальная функция с параметром, равномерно распределенным на отрезке [0, 1]. Проведен сравнительный анализ следующих стандартных методов выбора узлов аппроксимации функции Рунге: равномерно по оси абсцисс, равномерно по оси ординат, равномерно по длине кривой, по узлам Чебышева. Для сравнения интерполяционных полиномов Лагранжа проведена оценка погрешностей аппроксимации функции Рунге. Представлены графики построенных полиномов Лагранжа для пяти и семи узлов, выбранных разными способами. Для выбора оптимального расположения узлов аппроксимации предложенного метода составлена целевая функция, минимизация которой и обеспечивает оптимальное расположение узлов xi по оси абсцисс. Расположение узлов аппроксимации по оси ординат определено вычислением значений yi на основе исходной функции Рунге. В результате найдены узлы, которые обеспечивают минимальные отклонения от исходной аппроксимируемой функции Рунге. В качестве примера рассмотрены случаи пяти и семи узлов аппроксимации. Для визуализации полученных результатов приведены графики исходной функции Рунге и её аппроксимации с указанием найденных оптимальных узлов. Данный метод является устойчивым к увеличению количества узлов, расположение которых каждый раз оптимизируется и адаптируется к исходной функции.
Работа содержит достаточные условия действия обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в пространстве непрерывных функций, определенных на n-мерном параллелепипеде. Установлена непрерывность обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в случае его действия в пространстве непрерывных функций и в более общем случае непрерывных ядер операторов со значениями в пространстве измеримых и интегрируемых по Лебегу функций. Получены оценки норм обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в пространстве непрерывных функций. Показана зависимость оценки нормы линейного оператора типа Романовского с обобщенными частными интегралами от размерности пространства и от нормы непрерывных ядер обобщенных частно-интегральных операторов Романовского со значениями в пространстве измеримых и интегрируемых по Лебегу функций. Установленные свойства операторов применяются к исследованию линейных обобщенных частно-интегральных уравнений типа Романовского, в частности, к изучению обобщенного частно-интегрального уравнения n-связных цепей Маркова.
В работе представлен конструктивный алгоритм оценки решений дифференциально-разностных систем нейтрального типа с двумя несоизмеримыми запаздываниями в нейтральной части. Стоит отметить, что важным допущением является коммутативность матриц в левой части системы. Идея подхода заключается в представлении решений рассматриваемой системы через начальные функции и фундаментальную матрицу с последующим построением экспоненциальной оценки такого представления. На первом шаге алгоритма для системы заданы начальные условия. Далее получено представление системы в интегральной форме и введён оператор запаздывания. После рекурсивного применения оператора запаздывания к правой части системы её решения выражены через биномиальные коэффициенты, начальные функции и фундаментальную матрицу. Наконец на заключительном этапе после оценки по отдельности всех слагаемых, входящих в представление решений системы на предыдущем шаге, получена экспоненциальная оценка этих решений. При этом доказано, что оценка фундаментальной матрицы системы также имеет экспоненциальный вид. На практике разработанный метод позволит оптимизировать выбор управления для систем с запаздыванием нейтрального типа в смысле одной из ключевых характеристик управляемых систем - величины перерегулирования.
В настоящей работе рассматриваются классические системы итерированных функций (СИФ), состоящие из конечного числа сжимающих отображений полного метрического пространства. Основная цель — исследовать класс СИФ, аттракторы которых являются канторовыми множествами, то есть совершенными вполне несвязными множествами. Важными представителями такого класса являются вполне несвязные СИФ, введенные Барнсли. Нами предложены другие определения вполне несвязной СИФ и доказана их эквивалентность определению Барнсли. Получены достаточные условия, при которых СИФ является вполне несвязной. Показано, что инъективность отображений из СИФ влечет совершенность аттрактора и его несчетность. Доказано, что если отображения из СИФ являются инъективными, а сумма их коэффициентов сжатия меньше единицы, то аттрактор является канторовым множеством. В общем случае, эти условия не гарантируют вполне несвязность СИФ. Между тем показано, что если СИФ состоит из двух инъективных отображений, сумма коэффициентов сжатия которых меньше единицы, то СИФ является вполне несвязной. Построены примеры аттракторов СИФ, демонстрирующие, что условия доказанных теорем имеют только достаточный характер и не являются необходимыми.
Распределение учебной нагрузки на кафедре ранее было формализовано как задача комбинаторной дискретной оптимизации, и для её решения эффективным является применение алгоритма оптимизации последовательности отбора. Этот алгоритм разработан авторами в более ранних работах и использует, в частности, принципы алгоритма имитации отжига. Разработана блок-схема для данного алгоритма с целью наглядного представления работы такого алгоритма, необходимого для дальнейшего понимания излагаемого материала. Для моделирования динамики алгоритма разработана математическая модель на основе одной из разновидностей цветных сетей Петри – J-сети. Детально описана логика работы этой модели. Построена лента достижимости J-сети, содержащая 269 маркировок, часть из которых, представляющая характерные особенности, приводится в статье. Для сокращения размера ленты достижимости приняты некоторые допущения. Отбраковка недостижимых маркировок производится путем дополнительного анализа наборов неравенств – результатов сравнения значений целевой функции. В связи со значительным количеством анализируемых неравенств разработано программное средство для решения систем неравенств, алгоритм работы которого обладает полиномиальной временной сложностью. Проведен анализ ленты достижимости, который показывает корректность работы алгоритма оптимизации. Научная новизна: впервые построена лента достижимости для J-сети.
В статье рассматривается двумерная задача о гидродинамическом истечении первичной водородной атмосферы планеты в результате поглощения экстремального ультрафиолетового излучения (EUV) от родительской звезды. В качестве примера приведены параметры недавно открытой экзопланеты TOI-421b, которая, согласно принятой классификации, относится к так называемому классу “теплых мини-Нептунов”. Гидродинамические параметры определяются путем решения нестационарных уравнений Эйлера и производства энтропии в сферической системе координат. Для определения интенсивности EUV применяется уравнение переноса излучения вдоль параллельных лучей с коэффициентом поглощения, пропорциональным плотности атомов водорода. Численный метод основан на конечно-разностной схеме модифицированного типа МакКормака — Рунге–Кутты на сферической сетке с неравномерным шагом по радиальному направлению и постоянным шагом по сферическому углу. Расчет интенсивности излучения в точках сетки выполняется по характеристикам с интерполяцией плотности. Представлены стационарные двумерные профили физических параметров в верхних слоях атмосферы, полученные в результате расчетов. Приводится оценка скорости истечения массы атмосферы на дневной стороне планеты и скорость ухода массы на ночную сторону планеты при постоянных внешних условиях.
Работа посвящена математическому моделированию вентиляционных систем, состоящих из деформируемых воздуховодов, через которые подается поток воздуха. На основе построенной трехмерной математической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений в частных производных, в работе исследуется динамическая устойчивость упругой стенки воздуховода, через который подается поток газа. В качестве критерия устойчивости используется критерий динамической устойчивости по Ляпунову, когда малым деформациям упругой стенки в начальный момент времени соответствуют и малые деформации в последующие моменты времени. Для исследования устойчивости в задачах аэрогидроупругости в моделях сжимаемой и несжимаемой среды построены функционалы типа Ляпунова для полученных систем дифференциальных уравнений. На основе исследования этих функционалов получены условия устойчивости. Эти условия обеспечивают положительность функционала и отрицательность его производной по времени. Для модели сжимаемой среды построена зависимость сжимающего пластину продольного усилия от скорости протекающего потока воздуха для конкретных параметров механической системы. С помощью построенного графика проведено сравнение условий устойчивости для моделей сжимаемой и несжимаемой среды. Показано, что сжимаемость среды оказывает негативное влияние на устойчивость деформируемой стенки воздуховода и приводит к уменьшению области устойчивости.
Исследуются продольные колебания неоднородной цепочки линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил. Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения. Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе. Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы. Для построения точного периодического решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова–Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора. Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна 1 или 2. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения. Показано, что при длине обобщенной жордановой цепочки, равной 1, и стремлении малого параметра \varepsilon к нулю периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы. Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна 2, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке \varepsilon = 0, а при \varepsilon = 0 переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы. Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.
В данной работе предложен аналитический подход к синтезу наихудших внешних воздействий для линейных динамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование проводится для трёх классических функциональных пространств (L2, L\infty, L1) на фиксированном временном интервале, что соответствует задачам поиска воздействия с ограниченной энергией, ограниченной амплитудой и ограниченным импульсом. В качестве объекта анализа выбраны линейные упругие механические системы, что позволяет наглядно интерпретировать результаты. Для количественной оценки получаемых решений вводится специальный унифицированный показатель – отношение целевого выхода системы (например, максимального отклонения) к Lp-норме воздействия (нормированный отклик системы). В представленной работе получены явные аналитические выражения для наихудших воздействий и соответствующих им значений показателей. Показана взаимосвязь между показателями, полученными для различных классов воздействий. Приведены результаты численного моделирования для систем с одной и несколькими степенями свободы, представляющие собой цепочки материальных точек, соединённых упругими и диссипативными элементами между собой и подвижным основанием.