Статья: Об ортогонализации сплайнов Шенберга (2025)

В статье разработан численный алгоритм для исследования дозвуковых вязких химически активных потоков в присутствии лазерного излучения. Модель процесса описана в приближении уравнений Навье-Стокса с поправкой на дозвуковой режим течения, добавлением источниковых членов, отвечающих химическим превращениям, и внедрением дополнительного обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего распространение лазерного излучения по длине исследуемой области. Вычислительный алгоритм построен с применением принципа расщепления по физическим процессам. Это позволяет отдельно рассчитывать изменения концентраций в ходе химических превращений, конвективные потоки, диссипативные члены, динамическое отклонение давления и распространение лазерного излучения. Для учета диссипативных слагаемых (диффузия, вязкость и теплопроводность) используется метод локальных итераций, основанный на упорядочивании полиномов Чебышева. Программная реализация построенного алгоритма выявила более короткие времена расчетов с использованием метода локальных итераций для расчета диссипативных членов в сравнении с алгоритмом, вычисляющим их на основе схемы с центральными разностями, за счет возможного использования более крупного общего расчетного шага по времени. Верификация алгоритма проведена на примере конверсии метана сравнением с расчетом стехиометрического баланса брутто-реакции процесса, а также исследованием сходимости решения на последовательности сгущающихся сеток. На основе разработанного алгоритма проведено численное исследование неокислительной конверсии метана под воздействием лазерного излучения в трубе круглого сечения, получены графики распределения основных характеристик смеси.

Приведено аналитическое и численное решение модельного уравнения Шамеля с затуханием, описывающим динамику ионно-звуковых волн в замагниченной плазме. Малый параметр в уравнении введен перед диссипативным слагаемым, так что в его отсутствие решением уравнения Шамеля является уединенная волна (солитон). Для его решения применен асимптотический метод, являющийся разновидностью метода многих масштабов Крылова-Боголюбова-Митропольского. В первом приближении по малому параметру решение описывается уединенной бегущей волной с параметрами, медленно изменяющимися со временем. Во втором приближении находятся законы изменения амплитуды и фазы солитона, как функции «медленного» времени. Наряду с этим используются интегральные законы массы и энергии волнового поля, вытекающие точно из исходного модульного уравнения Шамеля с диссипацией. Показывается, что эти интегралы позволяют оценить величину излучения солитона, в частности, массу так называемого хвоста, возникающего за солитоном в процессе его диссипации. Прямое численное решение исходного уравнения псевдоспектральным методом подтвердило асимптотические законы изменения амплитуды солитона из-за его диссипации. Исследован также другой предельный случай сильной диссипации (по сравнению с нелинейностью и диссипацией), когда солитон затухает как линейный импульс, этот процесс подтвержден численно.

В данной статье проводится классификация многообразий, порожденных полугруппами четвертого порядка, по их рангам планарности. Цель исследования заключается в установлении полного перечня возможных значений рангов планарности и выявлении основных факторов, определяющих возможность плоской укладки графов Кэли свободных полугрупп рассматриваемых многообразий. Применяются методы теории графов и алгебры тождеств, используя инновационные алгоритмические подходы для проверки равенств посредством автоматизированных систем доказательства Prover9 и Mace4. Существующие плоские укладки для графов Кэли рассматриваемых полугрупп представлены на рисунках. В случае отсутствия планарности указывается конкретный обнаруженный запрещённый минор: полный граф пятого порядка или полный двудольный граф. Особое внимание уделяется статистической обработке полученных результатов методом главных компонент и построению иерархической кластеризации. На рисунках приведены иерархические деревья, факторные плоскости, корреляционные круги, столбцевые диаграммы разложения общей инерции по координатным осям. Хотя и ранее планарность графа Кэли свободной полугруппы многообразия интуитивно связывалась со степенью сложности определяющих тождеств, в данной работе эта зависимость впервые получает строгое количественное выражение, приведенное в таблицах. В рамках исследования вводятся вспомогательные параметры, что позволяет значительно повысить объяснительную силу модели и разделить многообразия на группы по топологическим характеристикам. В результате анализа установлено, что ведущими факторами, влияющими на значение рангов, являются параметры, отражающие разности позиций символа «z» в тождествах базисного набора.

В настоящей статье строится класс специальных потоков на многомерном торе и топологический инвариант таких потоков – множество вращения. Такие потоки возникают в процессе приведения к треугольному виду линейных систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. В процессе такого приведения получается система нелинейных дифференциальных уравнений на многомерном торе, которая порождает проективный поток, индуцируемый исходной линейной системой. В работе строится алгоритм SO(n)-расширения квазипериодической линейной системы. При этом используются известные результаты из теории матричных групп и алгебр Ли. Полученная система уравнений допускает понижение порядка, что позволяет записать правые части в виде тригонометрических полиномов от углов Эйлера на сфере. Случай n = 3 рассматривается отдельно. Уравнения, определяющие проективный поток, записываются в явном виде. Проективный поток определен на торе размерности m+2, где m – размерность исходного тора. Структура этого потока определяется топологическими инвариантами потока. Например, неособый поток на двумерном торе имеет топологический инвариант – число вращения (А. Пуанкаре). Используя метод М. Эрмана, удается доказать существование и единственность вектора вращения (\rho 1, \rho 2) для проективного потока на Tm+2. С помощью теории С. Шварцмана определения множества вращения для потоков на компактных метрических пространствах показывается, что компонента \rho 2 = 0. Здесь используется факт, что размерность максимальной торической подалгебры алгебры so(3) равна единице.

В данном исследовании реализованы и оценены различные численные методы для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений, моделирующей динамику спроса и предложения энергетических ресурсов. Использованы как одношаговые методы (ряд Тейлора, метод Рунге–Кутты), так и многошаговые методы (Адамса–Башфорта, метод прогноза–коррекции Адамса). Помимо стандартных методов четвёртого порядка, применялись также методы более высокого порядка, такие как метод Рунге–Кутты пятого порядка и метод ряда Тейлора шестого порядка. Кроме того, наряду с численными методами с фиксированным шагом, были реализованы и оценены методы с адаптивным шагом, включая явный метод Рунге–Кутты порядка 5(4) (RK45), явный метод Рунге–Кутты порядка 8(5,3) (DOP853), неявный метод Рунге–Кутты семейства Radau IIA порядка 5 (Radau), неявный метод на основе формул обратного дифференцирования (BDF), а также комбинированный метод Адамса/BDF с автоматическим переключением (LSODA). Полученные результаты показывают, что в рассмотренных случаях одношаговые методы были более эффективны, чем многошаговые, при отслеживании быстрых изменений системы, тогда как многошаговые методы требовали меньше времени на вычисления. Численные методы с адаптивным шагом продемонстрировали как гибкость, так и устойчивость. Посредством оценки и анализа численных решений, полученных различными методами, исследуются динамические характеристики и поведение системы.

Исследуется задача поиска оптимального по быстродействию управления в случае, когда процесс описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными выпуклыми ограничениями на фазовые переменные и управление. Путем перехода из n-мерного евклидова пространства в гильбертово пространство задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные и управление сводится к задаче оптимального быстродействия без ограничений. Показано, что область достижимости в новом пространстве является выпуклым множеством. Для решения полученной задачи используется модифицированный метод разделяющих гиперплоскостей. Одним из ключевых моментов этого метода, от которого зависит скорость сходимости алгоритма, является нахождение нормали разделяющей гиперплоскости. В настоящей работе нормаль разделяющей гиперплоскости на каждой итерации строится путем минимизации функционала типа расстояния на выпуклой оболочке опорных к множеству достижимости точек, полученных на предыдущих итерациях. После нахождения нормали, разделяющей гиперплоскости, строится опорная к области достижимости гиперплоскость, которая затем непрерывно переносится по возрастанию времени и находится первый момент времени, при котором опорная гиперплоскость достигнет заданной конечной точки. Этот момент времени и принимается за очередное приближение времени быстродействия. Сформулирована теорема о сходимости последовательных приближений по времени к значению времени быстродействия и о слабой сходимости последовательности управлений к оптимальному управлению. Алгоритм апробирован на решении задачи внешнего нагрева неограниченной пластины до заданной температуры за минимальное время с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения. Приведены результаты вычислительного эксперимента.