Найдены точные оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B ограниченных не обращающихся в ноль в единичном круге функций f. Получено два типа оценок: при «больших» значениях | f(0)| и при «малых» значениях | f(0)|. Первый тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем больше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Второй тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем меньше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Оба типа оценок получены при помощи методов теории подчинённых функций и теоремы Каратеодори-Тёплица для класса Каратеодори. Это стало возможным благодаря найденной связи между коэффициентами выпуклых однолистных функций (класс S0) и коэффициентами мажорирующих функций изучаемых подклассов класса B. Указаны границы применимости метода в зависимости от | f(0)| и от номера коэффициента. Дано приложение полученных результатов к теории многочленов Лаггера. Полученные результаты сравниваются с известными ранее. Методы, изложенные здесь могут быть применены на произвольных классах подчинённых функций.
В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т. е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга 3 с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга 4 и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно 1, то эта матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка n и ранга n 1 подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.
В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробнодифференциальным уравнениям.
Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие «биполярный тип эндоморфизма» группоида (или просто «биполярный тип»). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.
В работе для векторного пространства V размерности n над совершенным полем K характеристика два с заданной невырожденной ортогональной формой рассматривается действие ортогональной алгебры Ли o(V ) на внешних степенях пространства V. Внешняя алгебра отождествляется с алгеброй срезанных многочленов от n неизвестных, а внешние степени как модули над o(V ) – с однородными подпространствами неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли P(n) относительно скобки Пуассона, соответствующей ортонормированному базису пространства переменных. Доказывается, что все внешние степени стандартного представления алгебры Ли o(V ) неприводимы и попарно неэквивалентны. Относительно подалгебры so(V ), n = 2l + 1 или n = 2l, существует l попарно неэквивалентных фундаментальных представлений в пространствах \Lambda rV, r = 1,…, l. Все они допускают невырожденную инвариантную ортогональную форму и неприводимы при n = 2l + 1. При n = 2l представления so(V ) на \Lambda rV, r = 1,…, l 1 неприводимы, а пространство \Lambda lV имеет единственное нетривиальное собственное инвариантное подпространство M, которое является максимальным изотропным подпространством относительно инвариантной формы. Найдены две исключительные простые подалгебры Ли P1(6), P2(6) в P(6), размерности 25 1 и 26 1, соответственно, содержащие подмодуль M, которые существуют только в случае 6 неизвестных.
Представленная работа посвящена развитию итерационных методов решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами. Предложен новый подход к построению их решений, основанный на использовании метода последовательных приближений и полиномиальной интерполяции функций на отрезке [ 1, 1]. При этом исходное интегральное уравнение сведено к уравнению типа Вольтерра, в котором неизвестная функция подлежит определению на отрезке [ 1, 1]. В качестве начального приближения принимается свободный член рассматриваемого уравнения. На каждой итерации метода последовательных приближений осуществлено представление ядра интегрального уравнения в виде частичной суммы ряда по ортогональным на отрезке [ 1, 1] многочленам Чебышева. Коэффициенты в записанном разложении найдены с использованием ортогональности системы векторов, образованных значениями этих многочленов в нулях многочлена со степенью, равной числу неизвестных коэффициентов. Путем интерполяции по полученным значениям функции решения в узлах Чебышева на каждой итерации произведено приближение искомого решения. В работе также выполнено построение решения интегрального уравнения, свободный член которого имеет точку разрыва первого рода. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность предложенного подхода.
В статье разработан численный алгоритм для исследования дозвуковых вязких химически активных потоков в присутствии лазерного излучения. Модель процесса описана в приближении уравнений Навье-Стокса с поправкой на дозвуковой режим течения, добавлением источниковых членов, отвечающих химическим превращениям, и внедрением дополнительного обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего распространение лазерного излучения по длине исследуемой области. Вычислительный алгоритм построен с применением принципа расщепления по физическим процессам. Это позволяет отдельно рассчитывать изменения концентраций в ходе химических превращений, конвективные потоки, диссипативные члены, динамическое отклонение давления и распространение лазерного излучения. Для учета диссипативных слагаемых (диффузия, вязкость и теплопроводность) используется метод локальных итераций, основанный на упорядочивании полиномов Чебышева. Программная реализация построенного алгоритма выявила более короткие времена расчетов с использованием метода локальных итераций для расчета диссипативных членов в сравнении с алгоритмом, вычисляющим их на основе схемы с центральными разностями, за счет возможного использования более крупного общего расчетного шага по времени. Верификация алгоритма проведена на примере конверсии метана сравнением с расчетом стехиометрического баланса брутто-реакции процесса, а также исследованием сходимости решения на последовательности сгущающихся сеток. На основе разработанного алгоритма проведено численное исследование неокислительной конверсии метана под воздействием лазерного излучения в трубе круглого сечения, получены графики распределения основных характеристик смеси.
Приведено аналитическое и численное решение модельного уравнения Шамеля с затуханием, описывающим динамику ионно-звуковых волн в замагниченной плазме. Малый параметр в уравнении введен перед диссипативным слагаемым, так что в его отсутствие решением уравнения Шамеля является уединенная волна (солитон). Для его решения применен асимптотический метод, являющийся разновидностью метода многих масштабов Крылова-Боголюбова-Митропольского. В первом приближении по малому параметру решение описывается уединенной бегущей волной с параметрами, медленно изменяющимися со временем. Во втором приближении находятся законы изменения амплитуды и фазы солитона, как функции «медленного» времени. Наряду с этим используются интегральные законы массы и энергии волнового поля, вытекающие точно из исходного модульного уравнения Шамеля с диссипацией. Показывается, что эти интегралы позволяют оценить величину излучения солитона, в частности, массу так называемого хвоста, возникающего за солитоном в процессе его диссипации. Прямое численное решение исходного уравнения псевдоспектральным методом подтвердило асимптотические законы изменения амплитуды солитона из-за его диссипации. Исследован также другой предельный случай сильной диссипации (по сравнению с нелинейностью и диссипацией), когда солитон затухает как линейный импульс, этот процесс подтвержден численно.
В данной статье проводится классификация многообразий, порожденных полугруппами четвертого порядка, по их рангам планарности. Цель исследования заключается в установлении полного перечня возможных значений рангов планарности и выявлении основных факторов, определяющих возможность плоской укладки графов Кэли свободных полугрупп рассматриваемых многообразий. Применяются методы теории графов и алгебры тождеств, используя инновационные алгоритмические подходы для проверки равенств посредством автоматизированных систем доказательства Prover9 и Mace4. Существующие плоские укладки для графов Кэли рассматриваемых полугрупп представлены на рисунках. В случае отсутствия планарности указывается конкретный обнаруженный запрещённый минор: полный граф пятого порядка или полный двудольный граф. Особое внимание уделяется статистической обработке полученных результатов методом главных компонент и построению иерархической кластеризации. На рисунках приведены иерархические деревья, факторные плоскости, корреляционные круги, столбцевые диаграммы разложения общей инерции по координатным осям. Хотя и ранее планарность графа Кэли свободной полугруппы многообразия интуитивно связывалась со степенью сложности определяющих тождеств, в данной работе эта зависимость впервые получает строгое количественное выражение, приведенное в таблицах. В рамках исследования вводятся вспомогательные параметры, что позволяет значительно повысить объяснительную силу модели и разделить многообразия на группы по топологическим характеристикам. В результате анализа установлено, что ведущими факторами, влияющими на значение рангов, являются параметры, отражающие разности позиций символа «z» в тождествах базисного набора.
В настоящей статье строится класс специальных потоков на многомерном торе и топологический инвариант таких потоков – множество вращения. Такие потоки возникают в процессе приведения к треугольному виду линейных систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. В процессе такого приведения получается система нелинейных дифференциальных уравнений на многомерном торе, которая порождает проективный поток, индуцируемый исходной линейной системой. В работе строится алгоритм SO(n)-расширения квазипериодической линейной системы. При этом используются известные результаты из теории матричных групп и алгебр Ли. Полученная система уравнений допускает понижение порядка, что позволяет записать правые части в виде тригонометрических полиномов от углов Эйлера на сфере. Случай n = 3 рассматривается отдельно. Уравнения, определяющие проективный поток, записываются в явном виде. Проективный поток определен на торе размерности m+2, где m – размерность исходного тора. Структура этого потока определяется топологическими инвариантами потока. Например, неособый поток на двумерном торе имеет топологический инвариант – число вращения (А. Пуанкаре). Используя метод М. Эрмана, удается доказать существование и единственность вектора вращения (\rho 1, \rho 2) для проективного потока на Tm+2. С помощью теории С. Шварцмана определения множества вращения для потоков на компактных метрических пространствах показывается, что компонента \rho 2 = 0. Здесь используется факт, что размерность максимальной торической подалгебры алгебры so(3) равна единице.
В данном исследовании реализованы и оценены различные численные методы для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений, моделирующей динамику спроса и предложения энергетических ресурсов. Использованы как одношаговые методы (ряд Тейлора, метод Рунге–Кутты), так и многошаговые методы (Адамса–Башфорта, метод прогноза–коррекции Адамса). Помимо стандартных методов четвёртого порядка, применялись также методы более высокого порядка, такие как метод Рунге–Кутты пятого порядка и метод ряда Тейлора шестого порядка. Кроме того, наряду с численными методами с фиксированным шагом, были реализованы и оценены методы с адаптивным шагом, включая явный метод Рунге–Кутты порядка 5(4) (RK45), явный метод Рунге–Кутты порядка 8(5,3) (DOP853), неявный метод Рунге–Кутты семейства Radau IIA порядка 5 (Radau), неявный метод на основе формул обратного дифференцирования (BDF), а также комбинированный метод Адамса/BDF с автоматическим переключением (LSODA). Полученные результаты показывают, что в рассмотренных случаях одношаговые методы были более эффективны, чем многошаговые, при отслеживании быстрых изменений системы, тогда как многошаговые методы требовали меньше времени на вычисления. Численные методы с адаптивным шагом продемонстрировали как гибкость, так и устойчивость. Посредством оценки и анализа численных решений, полученных различными методами, исследуются динамические характеристики и поведение системы.
Исследуется задача поиска оптимального по быстродействию управления в случае, когда процесс описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными выпуклыми ограничениями на фазовые переменные и управление. Путем перехода из n-мерного евклидова пространства в гильбертово пространство задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные и управление сводится к задаче оптимального быстродействия без ограничений. Показано, что область достижимости в новом пространстве является выпуклым множеством. Для решения полученной задачи используется модифицированный метод разделяющих гиперплоскостей. Одним из ключевых моментов этого метода, от которого зависит скорость сходимости алгоритма, является нахождение нормали разделяющей гиперплоскости. В настоящей работе нормаль разделяющей гиперплоскости на каждой итерации строится путем минимизации функционала типа расстояния на выпуклой оболочке опорных к множеству достижимости точек, полученных на предыдущих итерациях. После нахождения нормали, разделяющей гиперплоскости, строится опорная к области достижимости гиперплоскость, которая затем непрерывно переносится по возрастанию времени и находится первый момент времени, при котором опорная гиперплоскость достигнет заданной конечной точки. Этот момент времени и принимается за очередное приближение времени быстродействия. Сформулирована теорема о сходимости последовательных приближений по времени к значению времени быстродействия и о слабой сходимости последовательности управлений к оптимальному управлению. Алгоритм апробирован на решении задачи внешнего нагрева неограниченной пластины до заданной температуры за минимальное время с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения. Приведены результаты вычислительного эксперимента.