ISSN 2079-6900 · EISSN 2587-7496

· Языки: ru / en

Статья: Групповая классификация нелинейного уравнения теплопроводности с дробно-дифференциальным малым двухфазным запаздыванием (2025)

Читать

Статья Литература Выпуск Статистика Издательство

Читать онлайн

В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробнодифференциальным уравнениям.

Ключевые фразы: дробно-дифференциальное уравнение теплопроводности, дробная производная герасимова–капуто, малый параметр, допускаемая группа приближенных преобразований, приближенно-инвариантное решение

Автор (ы): Лукащук Вероника Олеговна (Lukaschuk V. O.), Лукащук Станислав Юрьевич (Lukaschuk S. Y.)

Журнал: ЖУРНАЛ СРЕДНЕВОЛЖСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Предпросмотр статьи

Идентификаторы и классификаторы

SCI: Математика
УДК: 517.958. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики

Для цитирования:

ЛУКАЩУК В. О., ЛУКАЩУК С. Ю. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ МАЛЫМ ДВУХФАЗНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ // ЖУРНАЛ СРЕДНЕВОЛЖСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА. 2025. № 1, ТОМ 27

Текстовый фрагмент статьи

Классический групповой анализ дифференциальных уравнений [1–3] является эффективным математическим инструментом исследования их симметрийных свойств, нахождения инвариантных решений и построения законов сохранения. Основы теоретико-группового подхода были заложены в работах С. Ли и в дальнейшем развивались многими отечественными и зарубежными исследователями. В современном групповом анализе [4–6] области применимости теоретико-групповых методов были существенно расширены. В настоящее время эти методы успешно адаптированы для исследования интегро-дифференциальных уравнений [7–8] и дифференциальных уравнений с производными дробных порядков различных типов [9–10]. В [10–14] была развита теория приближенных групп преобразований для исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений с малым параметром. Относительно недавно [15–17] на основе этой теории были предложены алгоритмы нахождения приближенных симметрий и приближенных законов сохранения для дробно-дифференциальных уравнений в случае, когда порядок дробного дифференцирования оказывается близок к целому и, следовательно, в уравнение может быть введен малый параметр.

Будьте первым, кто начнет обсуждение

Если у вас возникли вопросы или появились предложения по содержанию статьи, пожалуйста, направляйте их в рамках данной темы.

Создать тему для обсуждения

Список литературы

1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
2. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 639 с.
4. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press, 1994. Vol. 1. 448 p.
5. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995. Vol. 2. 576 p.
6. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996. Vol. 3. 560 p.
7. Grigoriev Yu. N., Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Meleshko S. V. Symmetries of integro-differential equations: with applications in mechanics and plasma physics. Dordrecht: Springer, 2010. 318 p.
8. Григорьев Ю. Н., Ковалев В. Ф., Мелешко С. В. Симметрии нелокальных уравнений: Теория и приложения. Новосибирск: Наука, 2018. 436 с.
9. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetries and group invariant solutions of fractional ordinary differential equations // Ed. A. Kochubei, Y. Luchko, Vol 2. Fractional Differential Equations. Boston: De Gruyter, 2019. P. 65-90. DOI: 10.1515/9783110571660-004
10. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional PDEs // Ed. A. Kochubei, Y. Luchko, Vol. 2. Fractional Differential Equations. Boston: De Gruyter, 2019. P. 353-382. DOI: 10.1515/9783110571660-016
11. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сб. 1988. Т. 136, № 4. С. 435-450.
12. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущений в групповом анализе // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. 1989. Т. 34. С. 85-147.
13. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии и законы сохранения // Тр. МИАН. 1991. Т. 200. C. 35-45.
14. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 10. С. 1712-1732.
15. Gazizov R. K., Lukashchuk S. Yu. Approximations of Fractional Differential Equations and Approximate Symmetries // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50, No. 1. P. 14022-14027. DOI: 10.1016/j.ifacol.2017.08.2426 EDN: XYGJKP
16. Lukashchuk S. Yu., Saburova R. D. Approximate symmetry group classification for a nonlinear fractional filtration equation of diffusion-wave type // Nonlinear Dyn. 2018. Vol. 93, No. 2. Pp. 295-305. EDN: UOEPSZ
17. Lukashchuk S. Yu. Approximate conservation laws for fractional differential equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019. Vol. 68. Pp. 147-159. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.011
18. Lie S. Classification und integration von gewohnlichen differential-gleichungen zwischen x, y, die gruppe von transformationen gestatten // Arch. Math. Natur. Christiania. 1883. Vol. 9. P. 371-393.
19. Овсянников Л. В. Групповая классификация уравнений вида y′′=f(x,y) // Прикл. мех. техн. физ. 2004. Т. 45, № 2. С. 5-10.
20. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, № 3, C. 492-495.
21. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22, № 6, С. 1393-1400.
22. Lukashchuk S. Yu., Makunin A. V. Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term // Appl. Math. Comput. 2015. Vol. 257, P. 335-343. EDN: UFQFML
23. Лукащук С. Ю. Симметрийная редукция и инвариантные решения нелинейного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии с источником // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8, № 4, С. 114-126. EDN: XEBMRH
24. Лукащук С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. Т. 20, № 4. С. 603-619. DOI: 10.14498/vsgtu1520 EDN: YHPUVH
25. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 c.
26. Костановский А. В., Костановская М. Е. Критерий применения параболического уравнения теплопроводности // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, № 12. С. 6-11.
27. Qiu T. Q., Tien C. L. Heat Transfer Mechanisms During Short-Pulse Laser Heating of Metals // J. Heat Transfer. 1993. Vol. 115, No. 4. P. 835-841. DOI: 10.1115/1.2911377
28. Wang H. D., Cao B. Y., Guo Z. Y. Non-Fourier Heat Conduction in Carbon Nanotubes // J. Heat Transfer. 2012. Vol. 134, No. 5. 051004.
29. Roetzel W., Putra N., Das S. K. Experiment and analysis for non-Fourier conduction in materials with non-homogeneous inner structure // Int. J. Therm. Sci. 2003. Vol. 42, No. 6. P. 541-552. EDN: MTLNIB
30. Жмакин А. И. Теплопроводность за пределами закона Фурье // ЖТФ. 2021. Т. 91, № 1. С. 5-25. DOI: 10.21883/JTF.2021.01.50267.207-20
31. Cattaneo C. A form of heat equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. 1958. Vol. 247. P. 431-433.
32. Vernotte P. Paradoxes in the continuous theory of the heat equation // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. 1958. Vol. 246. P. 3154-3155.
33. Tzou D. Y. A unified approach for heat conduction from macro to micro-scales // ASME J. Heat Transfer. 1995. Vol. 117. P. 8-16. DOI: 10.1115/1.2822329
34. Xu H.-Y., Jiang X.-Y. Time fractional dual-phase-lag heat conduction equation // Chin. Phys. B. 2015. Vol. 24, No. 3. Article number 034401. DOI: 10.1088/1674-1056/24/3/034401 EDN: XQCIVJ
35. Sobhani H., Azimi A., Noghrehabadi A., Mozafarifard M. Numerical study and parameters estimation of anomalous diffusion process in porous media based on variable-order time fractional dual-phase-lag model // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 2023. Vol. 83, No. 7. P. 679-710. DOI: 10.1080/10407782.2022.2157915 EDN: JOFBKI
36. Zhuang Q., Yu B., Jiang X. An inverse problem of parameter estimation for time-fractional heat conduction in a composite medium using carbon-carbon experimental data // Phys. B: Condens. Matter. 2015. Vol. 456. P. 9-15. DOI: 10.1016/j.physb.2014.08.011 EDN: YFAQQN
37. Fotovvat M. H., Shomali Z. A time-fractional dual-phase-lag framework to investigate transistors with TMTC channels (TiS3, In4Se3) and size-dependent properties // Micro and Nanostructures. 2022. Vol. 168. 207304. DOI: 10.48550/arXiv.2203.06523 EDN: RLWVGX
38. Lukashchuk S. Yu. A semi-explicit algorithm for parameters estimation in a time-fractional dual-phase-lag heat conduction model // Modelling. 2024. Vol. 5, No. 3. P. 776-796. DOI: 10.3390/modelling5030041 EDN: COCAMO
39. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. EDN: YZECAT
40. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
41. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. до-сти.

Выпуск

№ 1, Том 27 (2025)

Кол-во страниц: 69 страниц

Другие статьи выпуска

Гипотеза Кшижа и выпуклые однолистные функции (2025)

Авторы: Ступин Д. Л.

Найдены точные оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B ограниченных не обращающихся в ноль в единичном круге функций f. Получено два типа оценок: при «больших» значениях | f(0)| и при «малых» значениях | f(0)|. Первый тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем больше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Второй тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем меньше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Оба типа оценок получены при помощи методов теории подчинённых функций и теоремы Каратеодори-Тёплица для класса Каратеодори. Это стало возможным благодаря найденной связи между коэффициентами выпуклых однолистных функций (класс S0) и коэффициентами мажорирующих функций изучаемых подклассов класса B. Указаны границы применимости метода в зависимости от | f(0)| и от номера коэффициента. Дано приложение полученных результатов к теории многочленов Лаггера. Полученные результаты сравниваются с известными ранее. Методы, изложенные здесь могут быть применены на произвольных классах подчинённых функций.

Сохранить в закладках

подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц 4-го и 5-го порядков обобщённой жордановой клетке (2025)

Авторы: Сидоров С. В., Уткин Г. В.

В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т. е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга 3 с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга 4 и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно 1, то эта матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка n и ранга n 1 подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.

Сохранить в закладках

Об одном универсальном критерии неподвижной точки (2025)

Авторы: Литаврин А. В.

Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие «биполярный тип эндоморфизма» группоида (или просто «биполярный тип»). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.

Сохранить в закладках

Фундаментальные представления ортогональной алгебры Ли и новые простые подалгебры неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли (2025)

Авторы: Кондратьева А. В., КУЗНЕЦОВ М. И.

В работе для векторного пространства V размерности n над совершенным полем K характеристика два с заданной невырожденной ортогональной формой рассматривается действие ортогональной алгебры Ли o(V ) на внешних степенях пространства V. Внешняя алгебра отождествляется с алгеброй срезанных многочленов от n неизвестных, а внешние степени как модули над o(V ) – с однородными подпространствами неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли P(n) относительно скобки Пуассона, соответствующей ортонормированному базису пространства переменных. Доказывается, что все внешние степени стандартного представления алгебры Ли o(V ) неприводимы и попарно неэквивалентны. Относительно подалгебры so(V ), n = 2l + 1 или n = 2l, существует l попарно неэквивалентных фундаментальных представлений в пространствах \Lambda rV, r = 1,…, l. Все они допускают невырожденную инвариантную ортогональную форму и неприводимы при n = 2l + 1. При n = 2l представления so(V ) на \Lambda rV, r = 1,…, l 1 неприводимы, а пространство \Lambda lV имеет единственное нетривиальное собственное инвариантное подпространство M, которое является максимальным изотропным подпространством относительно инвариантной формы. Найдены две исключительные простые подалгебры Ли P1(6), P2(6) в P(6), размерности 25 1 и 26 1, соответственно, содержащие подмодуль M, которые существуют только в случае 6 неизвестных.

Сохранить в закладках

О методе решения нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами (2025)

Авторы: Гермидер О. В., Попов В. Н.

Представленная работа посвящена развитию итерационных методов решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами. Предложен новый подход к построению их решений, основанный на использовании метода последовательных приближений и полиномиальной интерполяции функций на отрезке [ 1, 1]. При этом исходное интегральное уравнение сведено к уравнению типа Вольтерра, в котором неизвестная функция подлежит определению на отрезке [ 1, 1]. В качестве начального приближения принимается свободный член рассматриваемого уравнения. На каждой итерации метода последовательных приближений осуществлено представление ядра интегрального уравнения в виде частичной суммы ряда по ортогональным на отрезке [ 1, 1] многочленам Чебышева. Коэффициенты в записанном разложении найдены с использованием ортогональности системы векторов, образованных значениями этих многочленов в нулях многочлена со степенью, равной числу неизвестных коэффициентов. Путем интерполяции по полученным значениям функции решения в узлах Чебышева на каждой итерации произведено приближение искомого решения. В работе также выполнено построение решения интегрального уравнения, свободный член которого имеет точку разрыва первого рода. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность предложенного подхода.

Сохранить в закладках

Статистика статьи

Статистика просмотров за 2026 год.

Издательство

Издательство: МГУ им. Н. П. Огарёва
Регион: Россия, Саранск
Почтовый адрес: 430005, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68
Юр. адрес: 430005, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68
ФИО: Глушко Дмитрий Евгеньевич (РЕКТОР)
E-mail адрес: rector@adm.mrsu.ru
Контактный телефон: +7 (834) 2222961
Сайт: https://mrsu.ru

Все права на тексты и товарные знаки принадлежат их законным владельцам. Подробнее...

Сайт https://scinetwork.ru (далее – сайт) работает по принципу агрегатора – собирает и структурирует информацию из публичных источников в сети Интернет, то есть передает полнотекстовую информацию о товарных знаках в том виде, в котором она содержится в открытом доступе.

Сайт и администрация сайта не используют отображаемые на сайте товарные знаки в коммерческих и рекламных целях, не декларируют своего участия в процессе их государственной регистрации, не заявляют о своих исключительных правах на товарные знаки, а также не гарантируют точность, полноту и достоверность информации.

Все права на товарные знаки принадлежат их законным владельцам!

Сайт носит исключительно информационный характер, и предоставляемые им сведения являются открытыми публичными данными.

Администрация сайта не несет ответственность за какие бы то ни было убытки, возникающие в результате доступа и использования сайта.

Спасибо, понятно.

Сказать «Спасибо»

Вы можете поблагодарить автора за публикацию. Ему (ей) будет приятно.

Наведите камеру на QR-код, чтобы открыть моб. версию страницы.