В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробнодифференциальным уравнениям.
Приведено аналитическое и численное решение модельного уравнения Шамеля с затуханием, описывающим динамику ионно-звуковых волн в замагниченной плазме. Малый параметр в уравнении введен перед диссипативным слагаемым, так что в его отсутствие решением уравнения Шамеля является уединенная волна (солитон). Для его решения применен асимптотический метод, являющийся разновидностью метода многих масштабов Крылова-Боголюбова-Митропольского. В первом приближении по малому параметру решение описывается уединенной бегущей волной с параметрами, медленно изменяющимися со временем. Во втором приближении находятся законы изменения амплитуды и фазы солитона, как функции «медленного» времени. Наряду с этим используются интегральные законы массы и энергии волнового поля, вытекающие точно из исходного модульного уравнения Шамеля с диссипацией. Показывается, что эти интегралы позволяют оценить величину излучения солитона, в частности, массу так называемого хвоста, возникающего за солитоном в процессе его диссипации. Прямое численное решение исходного уравнения псевдоспектральным методом подтвердило асимптотические законы изменения амплитуды солитона из-за его диссипации. Исследован также другой предельный случай сильной диссипации (по сравнению с нелинейностью и диссипацией), когда солитон затухает как линейный импульс, этот процесс подтвержден численно.