В статье рассматривается многосеточный метод с полной аппроксимацией для разрывного метода Галёркина с неявной дискретизацией по времени. Целью исследования является применение данного метода для эффективного решения задач, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Разработан вычислительный алгоритм, который реализует многосеточный метод с полной аппроксимацией с применением метода Ньютона и усовершенствованного метода Ньютона-Крылова для решения возникающих нелинейных уравнений на каждом уровне сетки многосеточного метода. Такой подход позволяет существенно повысить эффективность алгоритма и сократить количество необходимых вычислительных ресурсов. Проведены численные эксперименты с применением обоих подходов к уравнению Хопфа. Исследовано влияние регуляризирующего параметра и числа Куранта на скорость сходимости внешних итераций метода Ньютона. Экспериментально показано, что использование метода Ньютона-Крылова значительно улучшает общую производительность вычислительного процесса по сравнению с традиционным методом Ньютона, хотя оба подхода демонстрируют схожий порядок сходимости, приближающийся ко второму порядку при применении квадратичных базисов.
При расчете на прочность элементов строительных конструкций одним из этапов является исследование динамики этих элементов при различных силовых нагрузках. В данной работе на основе классической модели свободных колебаний упругой пластины, в отличие от проведенных ранее численно-аналитических исследований, разрабатывается аналитический метод исследования динамики шарнирно закрепленной по краям бетонной плиты. Согласно методу Галеркина приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных, используемого в модели, отыскивается в виде линейной комбинации базисных функций. В результате получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов этой комбинации. На основе построения функционала типа Ляпунова для дифференциального уравнения в частных производных и функции Ляпунова для системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложено несколько способов определения погрешности полученного приближенного решения. На основе численных расчетов показана точность полученных оценок этой погрешности. Для этого построены графики разности исследуемого приближения и приближения высшего порядка. Наилучшую оценку показал способ определения погрешности с помощью следующей базисной функции, коэффициент при которой найден из уравнения, полученного на основе исследования функционала типа Ляпунова для исходного дифференциального уравнения в частных производных.
Проводится трансформация кубических сплайнов Шенберга с помощью четырех вспомогательных кубических сплайнов Шенберга, имеющих конечные носители, размеры которых меньше по сравнению с размером конечного носителя материнского сплайна. В результате построены восемь сеточных наборов ортогональных кубических сплайнов Шенберга, имеющих действительные значения. Выполнено исследование аппроксимативных свойств построенных ортогональных кубических сплайнов Шенберга. Показано, что порядок аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными также сплайнами Шенберга, существенно выше по сравнению с порядком аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными ступенчатыми функциями, и совпадает с порядком аппроксимации классическими кубическими сплайнами Шенберга. Дефект модифицированного сплайна Шенберга равен единице, как у классического сплайна Шенберга. Модифицированный сплайн является непрерывной функцией, у которой в точках сопряжения друг с другом частей материнского сплайна и частей сплайнов, используемых для модификации, нет разрывов также первой и второй производных.