Статья: Применение многосеточного метода с полной аппроксимацией для решения одномерных нелинейных уравнений в частных производных разрывным методом Галёркина (2025)

Распределение учебной нагрузки на кафедре ранее было формализовано как задача комбинаторной дискретной оптимизации, и для её решения эффективным является применение алгоритма оптимизации последовательности отбора. Этот алгоритм разработан авторами в более ранних работах и использует, в частности, принципы алгоритма имитации отжига. Разработана блок-схема для данного алгоритма с целью наглядного представления работы такого алгоритма, необходимого для дальнейшего понимания излагаемого материала. Для моделирования динамики алгоритма разработана математическая модель на основе одной из разновидностей цветных сетей Петри – J-сети. Детально описана логика работы этой модели. Построена лента достижимости J-сети, содержащая 269 маркировок, часть из которых, представляющая характерные особенности, приводится в статье. Для сокращения размера ленты достижимости приняты некоторые допущения. Отбраковка недостижимых маркировок производится путем дополнительного анализа наборов неравенств – результатов сравнения значений целевой функции. В связи со значительным количеством анализируемых неравенств разработано программное средство для решения систем неравенств, алгоритм работы которого обладает полиномиальной временной сложностью. Проведен анализ ленты достижимости, который показывает корректность работы алгоритма оптимизации. Научная новизна: впервые построена лента достижимости для J-сети.

В статье рассматривается двумерная задача о гидродинамическом истечении первичной водородной атмосферы планеты в результате поглощения экстремального ультрафиолетового излучения (EUV) от родительской звезды. В качестве примера приведены параметры недавно открытой экзопланеты TOI-421b, которая, согласно принятой классификации, относится к так называемому классу “теплых мини-Нептунов”. Гидродинамические параметры определяются путем решения нестационарных уравнений Эйлера и производства энтропии в сферической системе координат. Для определения интенсивности EUV применяется уравнение переноса излучения вдоль параллельных лучей с коэффициентом поглощения, пропорциональным плотности атомов водорода. Численный метод основан на конечно-разностной схеме модифицированного типа МакКормака — Рунге–Кутты на сферической сетке с неравномерным шагом по радиальному направлению и постоянным шагом по сферическому углу. Расчет интенсивности излучения в точках сетки выполняется по характеристикам с интерполяцией плотности. Представлены стационарные двумерные профили физических параметров в верхних слоях атмосферы, полученные в результате расчетов. Приводится оценка скорости истечения массы атмосферы на дневной стороне планеты и скорость ухода массы на ночную сторону планеты при постоянных внешних условиях.

Работа посвящена математическому моделированию вентиляционных систем, состоящих из деформируемых воздуховодов, через которые подается поток воздуха. На основе построенной трехмерной математической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений в частных производных, в работе исследуется динамическая устойчивость упругой стенки воздуховода, через который подается поток газа. В качестве критерия устойчивости используется критерий динамической устойчивости по Ляпунову, когда малым деформациям упругой стенки в начальный момент времени соответствуют и малые деформации в последующие моменты времени. Для исследования устойчивости в задачах аэрогидроупругости в моделях сжимаемой и несжимаемой среды построены функционалы типа Ляпунова для полученных систем дифференциальных уравнений. На основе исследования этих функционалов получены условия устойчивости. Эти условия обеспечивают положительность функционала и отрицательность его производной по времени. Для модели сжимаемой среды построена зависимость сжимающего пластину продольного усилия от скорости протекающего потока воздуха для конкретных параметров механической системы. С помощью построенного графика проведено сравнение условий устойчивости для моделей сжимаемой и несжимаемой среды. Показано, что сжимаемость среды оказывает негативное влияние на устойчивость деформируемой стенки воздуховода и приводит к уменьшению области устойчивости.

Исследуются продольные колебания неоднородной цепочки линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил. Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения. Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе. Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы. Для построения точного периодического решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова–Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора. Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна 1 или 2. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения. Показано, что при длине обобщенной жордановой цепочки, равной 1, и стремлении малого параметра \varepsilon к нулю периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы. Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна 2, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке \varepsilon = 0, а при \varepsilon = 0 переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы. Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.

В данной работе предложен аналитический подход к синтезу наихудших внешних воздействий для линейных динамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование проводится для трёх классических функциональных пространств (L2, L\infty, L1) на фиксированном временном интервале, что соответствует задачам поиска воздействия с ограниченной энергией, ограниченной амплитудой и ограниченным импульсом. В качестве объекта анализа выбраны линейные упругие механические системы, что позволяет наглядно интерпретировать результаты. Для количественной оценки получаемых решений вводится специальный унифицированный показатель – отношение целевого выхода системы (например, максимального отклонения) к Lp-норме воздействия (нормированный отклик системы). В представленной работе получены явные аналитические выражения для наихудших воздействий и соответствующих им значений показателей. Показана взаимосвязь между показателями, полученными для различных классов воздействий. Приведены результаты численного моделирования для систем с одной и несколькими степенями свободы, представляющие собой цепочки материальных точек, соединённых упругими и диссипативными элементами между собой и подвижным основанием.

При расчете на прочность элементов строительных конструкций одним из этапов является исследование динамики этих элементов при различных силовых нагрузках. В данной работе на основе классической модели свободных колебаний упругой пластины, в отличие от проведенных ранее численно-аналитических исследований, разрабатывается аналитический метод исследования динамики шарнирно закрепленной по краям бетонной плиты. Согласно методу Галеркина приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных, используемого в модели, отыскивается в виде линейной комбинации базисных функций. В результате получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов этой комбинации. На основе построения функционала типа Ляпунова для дифференциального уравнения в частных производных и функции Ляпунова для системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложено несколько способов определения погрешности полученного приближенного решения. На основе численных расчетов показана точность полученных оценок этой погрешности. Для этого построены графики разности исследуемого приближения и приближения высшего порядка. Наилучшую оценку показал способ определения погрешности с помощью следующей базисной функции, коэффициент при которой найден из уравнения, полученного на основе исследования функционала типа Ляпунова для исходного дифференциального уравнения в частных производных.

Проводится трансформация кубических сплайнов Шенберга с помощью четырех вспомогательных кубических сплайнов Шенберга, имеющих конечные носители, размеры которых меньше по сравнению с размером конечного носителя материнского сплайна. В результате построены восемь сеточных наборов ортогональных кубических сплайнов Шенберга, имеющих действительные значения. Выполнено исследование аппроксимативных свойств построенных ортогональных кубических сплайнов Шенберга. Показано, что порядок аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными также сплайнами Шенберга, существенно выше по сравнению с порядком аппроксимации сплайнами Шенберга, модифицированными ступенчатыми функциями, и совпадает с порядком аппроксимации классическими кубическими сплайнами Шенберга. Дефект модифицированного сплайна Шенберга равен единице, как у классического сплайна Шенберга. Модифицированный сплайн является непрерывной функцией, у которой в точках сопряжения друг с другом частей материнского сплайна и частей сплайнов, используемых для модификации, нет разрывов также первой и второй производных.