Проведено сравнительное исследование окислительно-восстановительного поведения нанокристаллических изоструктурных двойных ортофосфатов церия(IV) состава ACe2(PO4)3 (А = NH4+, K+, Rb+). Установлено, что по отношению к алкилпероксильным радикалам или пероксиду водорода в качестве активных форм кислорода все двойные фосфаты церия(IV) действовали как антиоксиданты или прооксиданты, соответственно. Антиоксидантная активность по отношению к алкилпероксильным радикалам оказалась выше у фосфатов, содержащих калий или рубидий. Примечательно, что для KCe2(PO4)3 и RbCe2(PO4)3 была обнаружена обратная зависимость каталитической активности от концентрации в реакции с H2O2, в отличие от NH4Ce2(PO4)3. Окислительно-восстановительное поведение наноразмерного диоксида церия, использованного для сравнения, было аналогично поведению ортофосфата церия(IV)-аммония, но значительно ниже в абсолютных значениях. Это было объяснено подавляющим эффектом фосфат-анионов, присутствующих в буферных растворах.
Идентификаторы и классификаторы
- SCI
- Физика
- УДК
- 53. Физика
Inorganic phosphates comprise both natural and synthetic compounds. They exist in the form of minerals [1], constitute the basis of mammalian bone tissue [2], and are utilized as luminophores [3], ceramics [4, 5], ionic conductors [6], etc. Nowadays, over 200 structural types of inorganic phosphates are known [7]. This crystallochemical diversity arises from a large number of cations that can bind with phosphate tetrahedra in different ways, as well as the ability to substitute or incorporate other anions and molecules (such as H2O) into the structur
Если у вас возникли вопросы или появились предложения по содержанию статьи, пожалуйста, направляйте их в рамках данной темы.
Список литературы
1. Achary S.N., Bevara S., Tyagi A.K. Recent Progress on Synthesis and Structural Aspects of Rare-Earth Phosphates. Coord. Chem. Rev., 2017, 340, P. 266-297. EDN: YYICFB
2. Lukaviciute L., Ganceviciene R., Tsuru K., Ishikawa K., Yang J.-C., Grigoraviciute I., Kareiva A. Cationic Substitution Effects in Phosphate-Based Bioceramics - A Way towards Superior Bioproperties. Ceram. Int., 2024, 50, P. 34479-34509. EDN: CMEWLD
3. Peter A.M., Kailasnath M. Perspectives of Low Dimensional Luminescent Rare Earth Phosphates: Applications and Challenges. In Low-Dimensional Materials, Systems and Applications, Volume 1, Elsevier, 2026, P. 443-478.
4. Clavier N., Podor R., Dacheux N. Crystal Chemistry of the Monazite Structure. J. Eur. Ceram. Soc., 2011, 31, P. 941-976. EDN: OLRKNJ
5. Neumeier S., Arinicheva Y., Ji Y., Heuser J.M., Kowalski P.M., Kegler P., Schlenz H., Bosbach Di. Deissmann G. New Insights into Phosphate Based Materials for the Immobilisation of Actinides. Radiochim. Acta, 2017, 105, P. 961-984. EDN: YIVUSQ
6. Chiang S.-J., Kaduk J.A., Shaw L.L. High Ionic Conducting NaSICON Enabled by Mechanical Activation Enhanced Reaction. Mater. Chem. Phys., 2024, 312, P. 128656. EDN: CVTBNM
7. Ameen S., Shaheer Akhtar M. Introductory Chapter: An Overview of Phosphate Mineral and Electrochemical Detection of Phosphate for Environmental Remediation. In Functional Phosphate Materials and Their Applications, IntechOpen, 2023.
8. Attfield J.P. Phosphates: Solid-State Chemistry. In Encyclopedia of Inorganic and Bioinorganic Chemistry, Wiley, 2004, P. 1-16.
9. Pet’kov V.I., Shipilov A.S., Sukhanov M. V. Thermal Expansion of MZr2(AsO4)3 and MZr2(TO4)x(PO4)3-x (M = Li, Na, K, Rb, Cs; T = As, V). Inorg. Mater., 2015, 51, P. 1079-1085. EDN: VAFVHZ
10. Huang H., Kong X., Zhao H., Ye N., Hu Z., Li C. A-Site Cation Substitution toward Structural Transformation in Phosphates Exhibiting Short UV Transparency and Second Harmonic Response. Inorg. Chem., 2025, 64, P. 17083-17090. EDN: YTGDNG
11. Ermilova M.M., Sukhanov M.V., Borisov R.S., Orekhova N.V., Pet’kov V.I. Novikova S.A., Il’in A.B., Yaroslavtsev A.B. Synthesis of the New Framework Phosphates and Their Catalytic Activity in Ethanol Conversion into Hydrocarbons. Catal. Today, 2012, 193, P. 37-41. EDN: UZRBKL
12. Slobodin V., Surat L.L., Zubkov V.G., Tyutyunnik A.P., Berger I.F., Kuznetsov M.V., Perelyaeva L.A., Shein I.R., Ivanovskii A.L., Shulgin B.V., Solomonov V. I., Svensson G., Forslund B., Sayagues M. J. Structural, Luminescence, and Electronic Properties of the Alkaline Metal-Strontium ’ Cyclotetravanadates M2Sr(VO3)4, (M=Na, K, Rb, Cs). Phys. Rev. B, 2005, 72, P. 155205.
13. Wen M., Wu H., Wu X. Influence of Cation on the Anion Frameworks and Properties of Four Lead Phosphates, A2PbBi2(PO4)2(P2O7) (A = Rb, Cs) and A2PbP2O7 (A = K, Rb). Inorg. Chem., 2020, 59, P. 2945-2951. EDN: QINCDM
14. Gautier R., Auguste S., Clevers S., Dupray V., Coquerel G., Le Fur E. Influence of the Cation Size on the Second Harmonic Generation Response of Chiral A(VO2)2(PO4)·3H2O (A = K+, NH4+ and Rb+). CrystEngComm, 2014, 16, P. 10902-10906.
15. Zhen X., Sanson A., Sun Q., Liang E., Gao Q. Role of Alkali Ions in the Near-Zero Thermal Expansion of NaSICON-Type AZr2(PO4)3 (A=Na, K, Rb, Cs) and Zr2(PO4)3 Compounds. Phys. Rev. B, 2023, 108, P. 144102. EDN: XBZGRV
16. Sukhanov M.V., Ermilova M.M., Orekhova N.V., Pet’kov V.I., Tereshchenko G.F. Catalytic Properties of Zirconium Phosphate and Double Phosphates of Zirconium and Alkali Metals with a NaZr2(PO4)3 Structure. Russ. J. Appl. Chem., 2006, 79, P. 614-618. EDN: GCNWBB
17. Patkare G., Shafeeq M., Sengupta A., Keskar M., Phatak R., Kannan S. Investigation of the Thermal Properties of Alkali Metal Thorium Phosphates and Their Application for the Sorption of Uranyl Ion from Acidic Medium. Eur. J. Inorg. Chem., 2023, 26, P. 202300140. EDN: CSULEP
18. Vasilyeva D.N., Kozlov D.A., Protsenko M.R., Simonenko N.P., Kozlova T.O. Ivanov V.K. Structure and Thermal Behavior of Novel Double Ceric Phosphates RbCe2(PO4)3and Rb2Ce(PO4)2 · xH2O. Russ. J. Inorg. Chem., 2025, 70, P. 943-951. EDN: WKBMLA
19. Shekunova T.O., Istomin S.Y., Mironov A. V., Baranchikov A.E., Yapryntsev A.D., Galstyan A.A., Simonenko N.P., Gippius A.A., Zhurenko S.V., Shatalova T.B., et al. Crystallization Pathways of Cerium(IV) Phosphates Under Hydrothermal Conditions: A Search for New Phases with a Tunnel Structure. Eur. J. Inorg. Chem., 2019, 2019, P. 3242-3248. EDN: ONLSKQ
20. Kozlova T.O., Vasilyeva D.N., Kozlov D.A., Teplonogova M.A., Baranchikov A.E., Simonenko N.P., Ivanov V.K. Synthesis and Thermal Behavior of KCe2(PO4)3, a New Full-Member in the AIMIV 2(PO4)3 Family. Nanosyst. Physics, Chem. Math., 2023, 14, P. 112-119. EDN: EQTLYP
21. Pansambal S., Oza R., Borgave S., Chauhan A., Bardapurkar P., Vyas S., Suresh G. Bioengineered Cerium Oxide (CeO2) Nanoparticles and Their Diverse Applications: A Review. Appl. Nanosci., 2023, 13, P. 6067-6092. EDN: CZUSCT
22. Nag S., Mitra O. P, S., Bhattacharjee A., Mohanto S., Gowda B.H.J., Kar S., Ramaiah S., Anbarasu A., Ahmed M.G. Exploring the Emerging Trends in the Synthesis and Theranostic Paradigms of Cerium Oxide Nanoparticles (CeONPs): A Comprehensive Review. Mater. Today Chem., 2024, 35, P. 101894. EDN: XVMXOC
23. Lord M.S., Berret J.F., Singh S., Vinu A., Karakoti A.S. Redox Active Cerium Oxide Nanoparticles: Current Status and Burning Issues. Small, 2021, 17, P. 2102342. EDN: VFJCLJ
24. Kozlova T.O., Popov A.L., Kolesnik I. V., Kolmanovich D.D., Baranchikov A.E., Shcherbakov A.B., Ivanov V.K. Amorphous and Crystalline Cerium(IV) Phosphates: Biocompatible ROS-Scavenging Sunscreens. J. Mater. Chem. B, 2022, 10, P. 1775-1785. EDN: ONGUKS
25. Kozlova T.O., Sheichenko E.D., Vasilyeva D.N., Kozlov D.A., Kolesnik I.V., Tronev I.V, Teplonogova M.A., Baranchikov A.E., Ivanov V.K. Ultrasonic-Assisted Hydrothermal Synthesis of Nanoscale Double Ceric Phosphates. Nanosyst. Physics, Chem. Math., 2024, 15, P. 215-223. EDN: TWHAXY
26. Lutterotti L. Total pattern fitting for the combined size-strain-stress-texture determination in thin film diffraction. Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B, 2010, 268, P. 334-340. EDN: NXIUUF
27. Popa, N.C. The (hkl) Dependence of Diffraction-Line Broadening Caused by Strain and Size for all Laue Groups in Rietveld Refinement. J. Appl. Crystallogr, 1998, 31, P. 176-180.
28. Alekseev A.V., Proskurnina E.V., Vladimirov Y.A. Determination of Antioxidants by Sensitized Chemiluminescence Using 2,2’-Azo-Bis(2- Amidinopropane). Moscow Univ. Chem. Bull., 2012, 67, P. 127-132. EDN: RGAAVP
29. Sidey V. On the Effective Ionic Radii for Ammonium. Acta Crystallogr. Sect. B Struct. Sci. Cryst. Eng. Mater., 2016, 72, P. 626-633. EDN: XMMBJR
30. Shannon R.D., Prewitt C.T. Effective Ionic Radii in Oxides and Fluorides. Acta Crystallogr. Sect. B Struct. Crystallogr. Cryst. Chem., 1969, 25, P. 925-946.
31. Vladimirov G.K., Sergunova E. V., Izmaylov D.Y., Vladimirov Y.A. Chemiluminescent Determination of Total Antioxidant Capacity in Medicinal Plant Material. Bull. Russ. State Med. Univ., 2016, P. 62-68.
32. Lee S.S., Song W., Cho M., Puppala H.L., Nguyen P., Zhu H., Segatori L., Colvin V.L. Antioxidant Properties of Cerium Oxide Nanocrystals as a Function of Nanocrystal Diameter and Surface Coating. ACS Nano, 2013, 7, P. 9693-9703. EDN: SOUWWN
33. Ghosalya M.K., Li X., Beck A., van Bokhoven J.A., Artiglia L. Size of Ceria Particles Influences Surface Hydroxylation and Hydroxyl Stability. J. Phys. Chem. C., 2021, 125, P. 9303-9309. EDN: ZISZMO
34. Romer I., Briffa S.M., Arroyo Rojas Dasilva Y., Hapiuk D., Trouillet V., Palmer R.E., Valsami-Jones E. Impact of Particle Size, Oxidation State ¨ and Capping Agent of Different Cerium Dioxide Nanoparticles on the Phosphate-Induced Transformations at Different PH and Concentration. PLoS One, 2019, 14, P. e0217483.
35. Listova A.L., Kuzenkova A.S., Gerasimov M.A., Kulikova E.S., Svetogorov R.D., Novichkov D.A., Averin A.A., Yapaskurt V.O., Romanchuk A.Y., Kalmykov S.N., Plakhova T.V. Comprehensive Dissolution Study on Two Double Ce(IV) Phosphates with Evidence of Secondary CeO2 Nanoparticle Formation. Molecules, 2025, 30, P. 2105. EDN: GATCWS
36. Ta K.M., Neal C.J. Coathup M.J., Seal S., Phillips R.M., Molinari M. The Interaction of Phosphate Species with Cerium Oxide: The Known, the Ambiguous and the Unexplained. Biomater. Adv., 2025, 166, P. 214063. EDN: KOVUTA
37. Singh S., Dosani T., Karakoti A.S., Kumar A., Seal S., Self W.T. A Phosphate-Dependent Shift in Redox State of Cerium Oxide Nanoparticles and Its Effects on Catalytic Properties. Biomaterials, 2011, 32, P. 6745-6753.
38. Singh R., Singh S. Role of Phosphate on Stability and Catalase Mimetic Activity of Cerium Oxide Nanoparticles. Colloids Surfaces B Biointerfaces, 2015, 132, P. 78-84.
39. Sozarukova M.M., Proskurnina E.V, Ivanov V.K. Prooxidant Potential of CeO2 Nanoparticles towards Hydrogen Peroxide. Nanosyst. Physics, Chem. Math., 2021, 12, P. 283-290. EDN: NCTICT
40. Sozarukova M.M., Kozlova T.O., Beshkareva T.S., Popov A.L., Kolmanovich D.D., Vinnik D.A., Ivanova O.S., Lukashin A. V., Baranchikov A.E., Ivanov V.K. Gadolinium Doping Modulates the Enzyme-like Activity and Radical-Scavenging Properties of CeO2 Nanoparticles. Nanomaterials, 2024, 14, 769. EDN: VKGPMV
41. Xu C., Qu X. Cerium Oxide Nanoparticle: A Remarkably Versatile Rare Earth Nanomaterial for Biological Applications. NPG Asia Mater., 2014, 6, P. e90.
42. Joubert El., Winterton P., Britz T.J., Gelderblom W.C.A. Antioxidant and Pro-Oxidant Activities of Aqueous Extracts and Crude Polyphenolic Fractions of Rooibos (Aspalathus Linearis). J. Agric. Food Chem., 2005, 53, P. 10260-10267. EDN: PMPZJN
43. Nowak M., Tryniszewski W., Sarniak A., Wlodarczyk A., Nowak P.J., Nowak D. Concentration Dependence of Anti- and Pro-Oxidant Activity of Polyphenols as Evaluated with a Light-Emitting Fe2+-Egta-H2O2 System. Molecules, 2022, 27, P. 3453. EDN: TITMXY
44. Stoeva S., Hvarchanova N., Georgiev K.D., Radeva-Ilieva, M. Green Tea: Antioxidant vs. Pro-Oxidant Activity. Beverages, 2025, 11, P. 64. EDN: AALRIN
45. Hoard J.L., Blair V. The Crystal Structures of Rubidium and Ammonium Fluoborates. J. Am. Chem. Soc., 1935, 57, P. 1985-1988.
46. Aydin F., Zhan C., Ritt C., Epsztein R., Elimelech M., Schwegler E., Pham T.A. Similarities and Differences between Potassium and Ammonium Ions in Liquid Water: A First-Principles Study. Phys. Chem. Chem. Phys., 2020, 22, P. 2540-2548. EDN: CXDBYF
47. Yang G., Gong P., Lin Z., Ye N. AZn2BO3X2 (A = K, Rb, NH4; X = Cl, Br): New Members of KBBF Family Exhibiting Large SHG Response and the Enhancement of Layer Interaction by Modified Structures. Chem. Mater., 2016, 28, P. 9122-9131. EDN: YXSDKB
48. Johnson D.A. Thermochemistry of Ammonium and Rubidium Perrhenates, and the Effect of Hydrogen Bonding on the Solubilities of Ammonium Salts. J. Chem. Soc. Dalt. Trans., 1990, P. 3301-3304.
49. Castañeda-Arriaga R., Pérez-González A., Reina M., Alvarez-Idaboy J.R., Galano A. Comprehensive Investigation of the Antioxidant and Pro-oxidant Effects of Phenolic Compounds: A Double-Edged Sword in the Context of Oxidative Stress? J. Phys. Chem. B, 2018, 122, P. 6198-6214.
50. Samrot A.V., Singh S.P.R., Deenadhayalan R., Rajesh V.V., Padmanaban S., Radhakrishnan K.K. Nanoparticles, a Double-Edged Sword with Oxidant as Well as Antioxidant Properties - A Review. Oxygen, 2022, 2, P. 591-604. EDN: MTXHRR
Выпуск
Другие статьи выпуска
В работе впервые проведено сравнительное исследование микроструктуры и механических свойств керамики цирконата гадолиния, полученной методом электроискрового спекания из гидроксидных прекурсоров, синтезированных без и с использованием механоактивации. Исходный прекурсор был получен методом обратного соосаждения гидроксидов. Механоактивация (МА) прекурсора проводилась в планетарной мельнице АГО-2 при центробежном факторе 20 g в течение 30 мин. С помощью рентгенофазового анализа показано, что керамика является нанокристаллической. Механические свойства (микротвердость и модуль Юнга) керамики, полученной на основе механоактивированного прекурсора, превосходят аналогичные показатели керамики на основе исходного прекурсора.
Термодинамический анализ трансформаций гидроксидов в системе Mg1-xNix(OH)2-SiO2-H2O при гидротермальном синтезе нанотубулярных частиц со структурой хризотила показал решающую роль процессов их дегидратации и повторного образования гидроксидов в ходе гидротермальной обработки реагентов на состав и морфологические параметры целевого продукта. В зависимости от состава гидроксидного реагента и T-P-условий в реакционной среде зоне выделены три области, в которых резко изменяется механизм формирования нанотубулярных частиц со структурой хризотила, что и является непосредственной причиной немонотонной зависимости Mg/Ni соотношения и размерных параметров нанотрубок (Mg1-xNix)3Si2O5(OH)4 от Mg/Ni соотношения в исходном гидроксиде.
Упругие свойства и механические характеристики сплавов на основе Ti-Nb22-Zr6 были рассчитаны методом точных маффин-тин орбиталей в приближении когерентного потенциала. Рассматривалось легирование металлами, такими как Hf, Mg и их комбинациями, при этом их концентрация не превышала 5 ат.%. Было показано, что добавление Hf и Mg приводит к понижению модуля Юнга как из-за размерного эффекта, так и из-за электронного фактора. Рассчитанный модуль Юнга для тройного сплава Ti-Nb22-Zr6 (70.1 ГПа) хорошо согласуется с экспериментальным значением (70 ГПа). Наименьшее значение модуля Юнга было рассчитано для сплава Ti-Nb22-Zr6-Hf5-Mg2.5, достигая 57 ГПа. Дальнейшее увеличение концентрации Mg приводит к отрицательному значению C’ и дестабилизации сплава. Кроме того, легирование сплава Ti-Nb22-Zr6 приводит к снижению твердости и трещиностойкости, но при этом повышается индекс хрупкости.
В работе рассматривается применение лазерной корреляционной спектроскопии к исследованию дисперсных систем для такого случая, который можно рассматривать как переходный к режиму многократного рассеяния. Показано, что даже незначительное нарушение условия однократного рассеяния за счет увеличения концентрации рассеивающих центров может привести к эффекту, который изменит результат измерения размера частиц. Это следует учитывать при изучении коллоидов.
В данном исследовании представлены проектирование и теоретический анализ перестраиваемого двуосного гиперболического метаматериала (БГММ), построенного из слоистой гетероструктуры n-GaAs/AlGaAs под воздействием внешнего магнитного поля. Цель состоит в оптимизации перестраиваемости для управления формой дисперсии в терагерцовом (ТГц) диапазоне частот. Используется модель приближения эффективной среды (ПЭС), демонстрирующая сосуществование двух волновых мод, а именно замкнутой эллипсоидальной и открытой гиперболоидальной изочастотной поверхности. Результаты показывают, что внешнее магнитное поле действует как мощный механизм настройки, позволяющий осуществлять спектральный сдвиг дисперсии и активное переключение между гиперболическими режимами типа I и типа II. Кроме того, анализируются условия, необходимые для достижения экстремального сжатия изочастотной поверхности (ИЗП), что имеет важное значение для управления направлением луча. Это сжатие происходит, когда одна из компонент диэлектрической проницаемости достигает чрезвычайно больших значений, что приводит к образованию почти плоских сегментов на изочастотной поверхности
В настоящей статье показана возможность увеличить время хранения инверсного состояния OS с 140 до 500 мин при 145 ℃ в сегнетоэлектрических конденсаторах на основе Hf0.5Zr0.5O2 (HZO) путем сдвига вправо конечной точки интегрирования тока. Учет переходных процессов между управляющими импульсами после отжига в течение 500 мин при температуре 145 ℃ позволяет повысить сохраняемость состояния OS с 21 % до 35 % от начального значения. Противоположная тенденция выявлена для состояний SS (снижение с 56 % до 35 %) и NSS (снижение с 63 % до 45 %). Также показано, что наличие сдвига напряжения, вызванного эффектом импринта, в некоторых случаях может и не приводить деградации поляризации благодаря току, который протекает на полке максимального напряжения управляющего импульса.
Мы изучаем трёхчастичные операторы Шрёдингера на двумерной решётке Z2 и показываем, что критическое отношение масс γc ≈ 2.75194 определяет существование связанного тримера в фермионной 2+1 конфигурации (два тождественных фермиона и третья частица). При γ < γc имеется топологическое запрещение (подавление Паули) трёхчастичного связанного состояния, тогда как при γ < γc возникает дважды вырожденное собственное значение ниже существенного спектра с асимптотикой сильной связи z(γ, λ) = -λ+e0(γ)+O(λ-1). В рамках единого подхода, основанного на принципе Бирмана-Швингера и асимптотическом анализе в режиме сильной связи, мы сравниваем это поведение с бозонным случаем трёх тождественных частиц, где два связанных состояния существуют ниже существенного спектра и энергия основного состояния удовлетворяет z1s(µ) = -3µ + C2 + O(µ-1). Возникающий фазовый переход второго рода по отношению масс важен для планирования экспериментов по фермионным тримерам в оптических решётках и для моделирования экситонных комплексов и дефектно-связанных состояний в двумерных наноматериалах, где критическое значение γc служит ориентиром для наблюдаемости трёхчастичных связанных состояний. Мы также намечаем модифицированную трёхчастичную решёточную модель с двумя конкурирующими каналами взаимодействия, для которой анализ Бирмана-Швингера естественным образом приводит к сценарию Ландау фазового перехода первого рода в пространстве тримерных связанных состояний. В бозонном случае мы доказываем теорему о сильной связи, описывающую существование и асимптотику тримерных связанных состояний, а в фермионном 2+1 случае устанавливаем теорему о спектральном фазовом переходе, которая даёт явное критическое отношение масс γc, разделяющее тримерный и бестримерный режимы.
В данной статье исследуется задача Коши в полуплоскости для неоднородного уравнения четвертого порядка с дробной производной в смысле Капуто. Единственность решения показывается с помощью преобразования Лапласа. При построении решения сначала находятся частные решения, выраженные через функции Райта. Затем с помощью этих частных решений строятся функции Грина. Решение строится в явном виде с использованием функции Грина. Также получен явный вид фундаментального решения.
Исследуется колебательное поведение всех решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием, имеющего несколько отклоняющихся аргументов и неотрицательных коэффициентов. Получены некоторые достаточные условия для колебаний. Приведен также пример, иллюстрирующий значимость наших основных результатов.
В данной работе исследуются слабо периодические p-адические квазигиббсовские меры для модели Поттса с q состояниями на дереве Кэли порядка k. Кроме того, продемонстрировано, что для всех q, не меньших 3, и k, не меньших 2, существуют такое простое число p и параметр, которые гарантируют возникновение фазового перехода.
Мы исследуем операторы Шрёдингера Hλµ(K), ассоциированные с двухфермионной системой на трёхмерной решётке T3 при фиксированном полном квазиимпульсе K ∈ T3, где частицы взаимодействуют посредством связей с ближайшими и вторыми ближайшими узлами с константами взаимодействия λ, µ ∈ R. Для случая K = 0 установлено, что оператор Hλµ(0) допускает приведённое инвариантное подпространство, ограничение на которое зависит только от параметра µ ∈ R. Показано, что µ-параметрическая прямая содержит две критические точки, соответствующие нижнему и верхнему порогам спектра; в каждой из этих точек определитель Фредгольма приведённого оператора обращается в нуль. Каждая из критических точек разбивает параметрическую прямую на два бесконечных интервала, на которых число собственных значений, расположенных ниже (соответственно, выше) существенного спектра, остаётся постоянным. В зависимости от значения параметра µ соответствующий приведённый оператор имеет ровно одно дискретное собственное значение, расположенное либо ниже нижней границы, либо выше верхней границы существенного спектра. Кроме того, получена нижняя оценка на число дискретных собственных значений оператора Hλµ(K) для всех K ∈ T3.
Издательство
- Издательство
- ИТМО
- Регион
- Россия, Санкт-Петербург
- Почтовый адрес
- Кронверкский пр., д.49, лит. А, Санкт-Петербург, Российская Федерация, 197101.
- Юр. адрес
- Кронверкский пр., д.49, лит. А, Санкт-Петербург, Российская Федерация, 197101.
- ФИО
- Васильев Владимир Николаевич (Ректор)
- E-mail адрес
- od@itmo.ru
- Контактный телефон
- +7 (812) 6070277
- Сайт
- https:/itmo.ru