Мы изучаем двухканальный решеточный гамильтониан в секторе с фиксированным числом частиц на одномерной решетке Z. Модель состоит из молекулярного канала, связанного с бозонным двухчастичным каналом с внутриузловым взаимодействием. В импульсном представлении трансляционная инвариантность дает семейство редуцированных гамильтонианов Hγ,λ(K), параметризованных полным квазиимпульсом K∈T, каждый из которых действует в C⊕L2, e(T). Для контактных взаимодействий каждый редуцированный гамильтониан является возмущением второго ранга свободного диагонального оператора. С помощью метода Липпмана-Швингера задача на собственные значения для энергий вне существенного спектра [Ԑ-K, Ԑ+K] сводится к линейной системе 2×2 и, эквивалентно, к обращению в нуль точного скалярного детерминанта Фредгольма, включающего одномерную решеточную функцию Грина. Сингулярности квадратного корня этой функции Грина на краях зоны Ԑ-K, Ԑ+K определяют пороговую асимптотику определителя и приводят к явным критериям существования собственных значений ниже нижнего порога и выше верхнего порога. Мы получаем полную классификацию дискретного спектра Hγ,λ(K) для всех квазиимпульсов в терминах параметров γ, λ, E0. Мы также анализируем пороговые конфигурации E0=Ԑ+K, исключительную плоскую зону слоя K = π, где существенный спектр схлопывается в одну точку, и пороговые состояния вспомогательного оператора ранга один hλ(K). Для последнего мы приводим описание пороговых резонансов во взвешенном пространстве, поясняя, как собственное значение возникает из порогового резонанса hλ(K) и приближается к краю полосы, когда включается межканальная связь.
Мы исследуем операторы Шрёдингера Hλµ(K), ассоциированные с двухфермионной системой на трёхмерной решётке T3 при фиксированном полном квазиимпульсе K ∈ T3, где частицы взаимодействуют посредством связей с ближайшими и вторыми ближайшими узлами с константами взаимодействия λ, µ ∈ R. Для случая K = 0 установлено, что оператор Hλµ(0) допускает приведённое инвариантное подпространство, ограничение на которое зависит только от параметра µ ∈ R. Показано, что µ-параметрическая прямая содержит две критические точки, соответствующие нижнему и верхнему порогам спектра; в каждой из этих точек определитель Фредгольма приведённого оператора обращается в нуль. Каждая из критических точек разбивает параметрическую прямую на два бесконечных интервала, на которых число собственных значений, расположенных ниже (соответственно, выше) существенного спектра, остаётся постоянным. В зависимости от значения параметра µ соответствующий приведённый оператор имеет ровно одно дискретное собственное значение, расположенное либо ниже нижней границы, либо выше верхней границы существенного спектра. Кроме того, получена нижняя оценка на число дискретных собственных значений оператора Hλµ(K) для всех K ∈ T3.