СХЕМА КАБАРЕ С УЛУЧШЕННЫМИ ДИСПЕРСИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (2021)
Предложен балансно-характеристический метод решения систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, обладающий четвертым порядком аппроксимации на равномерных сетках и вторым порядком и улучшенными дисперсионными свойствами на неравномерных сетках. Метод основан на известной схеме КАБАРЕ, балансные фазы которой модифицированы путем добавления антидисперсионных членов особого вида. Ранее метод, обладающий схожими свойствами, предлагался только для простейшего одномерного линейного уравнения переноса. Приведенная модификация схемы позволяет улучшить дисперсионные свойства переноса сразу всех инвариантов Римана рассматриваемой системы уравнений. Схема бездиссипативна при отключенных процедурах монотонизации и устойчива при числах Куранта CFL ≤ 1. Точность метода и его порядок сходимости продемонстрированы на серии расчетов задачи о переносе волны, промодулированной гауссианом, на последовательности сгущающихся сеток. Предложенный метод планируется использовать в качестве основы для построения схемы КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами для систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 44860482
Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа является одной из основных задач математического моделирования физических процессов. Этим видом уравнений описываются задачи гидродинамики, аэроакустики, океанологии, ядерной энергетики и другие задачи индустриальной математики. Фундаментом многих методов решения уравнений гиперболического типа является решение линейных уравнений переноса. Даже в случае таких относительно простых уравнений разностные схемы зачастую сталкиваются с проблемами сохранения фазы и амплитуды распространяющихся волн, искажающихся из-за схемной дисперсии и диссипации. Современные подходы к решению уравнений гиперболического типа включают в себя множество различных методов, начиная с методов типа TVD/B (Total Variation Diminishing / Bounded), комбинирующих методы коррекции потоков с высокополиномиальными реконструкциями переменных для более точного моделирования распространяющихся волн (например, методы WENO и разрывный метод Галеркина [1–4]), и заканчивая псевдоспектральными методами, использующими сложные вычислительные шаблоны для улучшения дисперсионных и диссипативных свойств схем [5].
Список литературы
- X.-D. Liu, S. Osher, and T. Chan, “Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes”, J. Comput. Phys. 115 (1), 200-212 (1994).
- C.-W. Shu and S. Osher, “Efficient Implementation of Essentially Non-Oscillatory Shock-Capturing Schemes”, J. Comput. Phys. 77 (2), 439-471 (1988).
- B. Cockburn and C.-W. Shu, “Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems”, J. Sci. Comput. 16 (3), 173-261 (2001). EDN: XOUYQL
- J. Qiu and C.-W. Shu, “Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Method Using WENO Limiters”, SIAM J. Sci. Comput. 26 (3), 907-929 (2005).
- C. Bogey, N. de Cacqueray, and C. Bailly, “A Shock-Capturing Methodology Based on Adaptative Spatial Filtering for High-Order Non-Linear Computations”, J. Comput. Phys. 228 (5), 1447-1465 (2009). EDN: MMRYVX
- V. M. Goloviznin and B. N. Chetverushkin, “New Generation Algorithms for Computational Fluid Dynamics”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 58 (8), 20-29 (2018) [Comput. Math. Math. Phys. 58 (8), 1217-1225 (2018)]. EDN: YLEZPV
- V. M. Goloviznin and A. A. Samarskii, “Difference Approximation of Convective Transport with Spatial Splitting of Time Derivative”, Mat. Model. 10 (1), 86-100 (1998).
- S. A. Karabasov and V. M. Goloviznin, “Compact Accurately Boundary-Adjusting High-Resolution Technique for Fluid Dynamics”, J. Comput. Phys. 228 (19), 7426-7451 (2009). EDN: MWTTVV
- V. M. Goloviznin, I. A. Korotkin, and S. A. Finogenov, “Modeling of Turbulent Natural Convection in Enclosed Tall Cavities”, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 58, 1211-1222 (2017). EDN: UYEMOB
-
S. A. Karabasov and V. M. Goloviznin, "New Efficient High-Resolution Method for Nonlinear Problems in Aeroacoustics", AIAA J. 45 (12), 2861-2871 (2007). EDN: LKNJAV
-
A. P. Markesteijn and S. A. Karabasov, "CABARET Solutions on Graphics Processing Units for NASA Jets: Grid Sensitivity and Unsteady Inflow Condition Effect", Comptes Rendus Mécanique 346 (10), 948-963 (2018). EDN: YJZZWX
-
M. A. Zaitsev and S. A. Karabasov, "Cabaret Scheme for Computational Modelling of Linear Elastic Deformation Problems", Mat. Model. 29 (11), 53-70 (2017). EDN: ZQQDBD
-
V. M. Goloviznin and S. A. Karabasov, "Nonlinear Correction of Cabaret Scheme", Mat. Model. 10 (12), 107-123 (1998).
-
V. M. Goloviznin and A. A. Samarskii, "Some Properties of the Difference Scheme 'Cabaret'", Mat. Model. 10 (1), 101-116 (1998).
-
C. Abhishek, S. E. Naghibi, A. P. Markesteijn, and S. A. Karabasov, "A Fourth-Order CABARET Scheme for Computational Aeroacoustics", (2019). DOI: 10.13140/RG.2.2.28629.88805
-
A. Iserles, "Generalized Leapfrog Methods", IMA J. Numer. Anal. 6, 381-392 (1986). EDN: IPUMIV
-
Yu. I. Shokin, The Method of Differential Approximation (Nauka, Novosibirsk, 1979; Springer, Berlin, 1983).
-
V. M. Goloviznin, S. A. Karabasov, and I. M. Kobrinskii, "Balance-Characteristic Schemes with Separated Conservative and Flux Variables", Mat. Model. 15 (9), 29-48 (2003). EDN: TTOGQX
-
V. M. Goloviznin, M. A. Zaitsev, S. A. Karabasov, and I. A. Korotkin, Novel Algorithms of Computational Hydrodynamics for Multicore Computing (Mosk. Gos. Univ., Moscow, 2013) [in Russian].
-
S. A. Karabasov and V. M. Goloviznin, "Compact Accurately Boundary-Adjusting High-Resolution Technique for Fluid Dynamics", J. Comput. Phys. 228 (19), 7426-7451 (2009). EDN: MWTTVV
-
C. Bogey and C. Bailly, "A Family of Low Dispersive and Low Dissipative Explicit Schemes for Flow and Noise Computations", J. Comput. Phys. 194 (1), 194-214 (2004). EDN: MTTFBX
-
N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel'kov, Numerical Methods (Nauka, Moscow, 1987) [in Russian].
-
N. A. Afanasiev, V. M. Goloviznin, V. N. Semenov, et al., "Direct Simulation of Thermoacoustic Instability in Gas Generators Using 'CABARET' Scheme", Mat. Model. 33 (2), 3-19 (2021). EDN: MGKNRU
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Параллельные программные средства и технологии.
Другие статьи выпуска
В работе демонстрируется, как метод апостериорной оценки порядка точности разностной схемы по Ричардсону позволяет сделать вывод о некорректности постановки (в смысле отсутствия решения) решаемой численно начально-краевой задачи для уравнения в частных производных. Это актуально в ситуации, когда аналитическое доказательство некорректности постановки ещё не получено или принципиально невозможно.
Строятся экономичные разностные схемы сквозного счета для решения прямых задач сейсмики в осесимметричной постановке. При распараллеливании алгоритмов, реализующих схемы на многопроцессорных вычислительных системах, применяется метод двуциклического расщепления по пространственным переменным. Одномерные системы уравнений на этапах расщепления решаются на основе явных сеточно-характеристических схем и неявной разностной схемы типа “предиктор-корректор” с контролируемой искусственной диссипацией энергии. Верификация алгоритмов и программ выполнена на точных решениях одномерных задач типа бегущих монохроматических волн. Сравнение результатов показало неоспоримые преимущества схемы с контролируемой диссипацией энергии по точности расчета гладких решений и целесообразность применения явных монотонных схем при расчете разрывов.
Проводится численное моделирование обтекания гиперзвукового летательного аппарата с использованием модели высокотемпературного воздуха и гибридной архитектуры на основе высокопроизводительных графических процессорных устройств. Расчеты проводятся на основе уравнений Эйлера, для дискретизации которых применяется метод конечных объемов на неструктурированных сетках. Приводятся результаты исследования эффективности расчета гиперзвуковых течений газа на графических процессорах. Обсуждается время счета, достигнутое при использовании моделей совершенного и реального газа.
Any modern supercomputer has an extremely complex architecture, and efficient usage of its resources is often a very difficult task, even for experienced users. At the same time, the field of high-performance computing is becoming more and more in demand, so the issue of efficient utilization of supercomputers is very urgent. Therefore, users should know everything important about performance of their jobs running on a supercomputer in order to be able to optimize them, and administrators should be able to monitor and analyze all the nuances of the efficient functioning of such systems. However, there is currently no complete understanding of what data are best to be studied (and how it should be analyzed) in order to have a whole picture of the state of the supercomputer and the processes taking place there. In this paper, we make our first attempt to answer this question. To do this, we are developing a model that describes all the potential factors that may be important when analyzing the performance of supercomputer applications and the HPC system as a whole. The paper provides both a detailed description of this model for users and administrators and some interesting real-life examples discovered on the Lomonosov-2 supercomputer using a software implementation based on the proposed model.
Исследуются задачи взаимодействия ударной волны с ограниченным слоем газовзвеси, внутри которого имеется неоднородность квадратного сечения пониженной или повышенной плотности. Для расчетов используется гибридный метод крупных частиц второго порядка аппроксимации по пространству и времени. Правильность численных разрывных решений, в частности скачков пористости, подтверждается сравнением с асимптотически точными профилями плотности смеси. Приведены аналитические зависимости ослабления ударной волны слоем газовзвеси. Изучены ударно-волновые структуры в двумерных областях и влияние на них релаксационных процессов.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/