Рассматривается семейство псевдоокружностей.
Среди множества видов интегрируемых биллиардов интересно изучить топологические свойства вполне интегрируемого биллиарда с потенциалом Q (х, у), удовлетворяющим теореме Козлова [2], одного из обобщений математического биллиарда.
По Дж. Д. Биркгофу, биллиард в эллипсе интегрируем: звенья траектории лежат на прямых, касательных к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), принадлежащей тому же софокусному семейству, что и граничный эллипс. В. В. Ведюшкина значительно расширила класс интегрируемых биллиардов, введя биллиардные книжки.
Известно, что биллиард в эллипсе интегрируем по Лиувиллю в том смысле, что существует два функционально независимых почти всюду первых интеграла: один соответствует энергии системы, другой — параметру софокусной квадрики.
Как правило, на многогранниках геодезический поток не рассматривают с точки зрения интегрируемости, поскольку поведение движущейся точки в вершинах, вообще говоря, корректно не определено.
Биллиард с потенциалом Гука. Это часть плоскости, ограниченная дугами софокусных эллипсов и гипербол, в котором на материальную точку (биллиардный шар) действует точечный упругий потенциал Гука, размещённый в центре софокусного семейства квадрик.
Доклад посвящен связи двух, на первый взгляд, весьма далеких областей математики — теории проективно эквивалентных метрик и интегрируемых биллиардов на столах, ограниченных квадриками. Подробный обзор современных результатов о свойствах таких биллиардов, как классических так и обобщенных (систем на комплексах с перестановками — предложенных В. В. Ведюшкиной биллиардных книжках) приведен в обзоре А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной.
Рассмотрим область на плоскости, ограниченную дугами софокусных парабол. Зададим направление силы тяжести перпендикулярно директрисам парабол из этого семейства. Тогда биллиард с гравитационным потенциалом в данной области является интегрируемым. В параболических координатах интегралы данной системы имеют следующий вид.
В работе [1] А. Т. Фоменко был введен новый класс биллиардов. Пусть материальная точка движется равномерно и прямолинейно внутри окружности и попадает на границу в точке х. Повернув радиус-вектор точки х на фиксированный угол а, точку на конце полученного радиус-вектора обозначим буквой у. Продолжим движение частицы из точки у по лучу, выходящему из у под тем же углом к границе, что и в точке х. В данном случае движение “по” или “против” часовой стрелки сохраняется. Другими словами, частица продолжает движение, выходя из новой точки под тем же углом и “проскальзывая” вдоль границы. На основании этого такой класс систем был назван “биллиардами с проскальзыванием на угол а”.
Рассматривается биллиард без трения с абсолютно упругим отражением внутри кольца, образованного двумя софокусными эллипсами, под действием кулоновских потенциалов, сосредоточенных в фокусах эллипсов Ух и У2, е некоторыми зарядами 71 и 72 соответственно. Благодаря результатам В. В. Козлова известно, что такой биллиард является интегрируемым по Лиувиллю в кусочногладком смысле. Автором найдена формула дополнительного первого интеграла, выписаны формулы разделяющихся переменных.
Пусть £ — п-осный эллипсоид в евклидовом пространстве К”. Рассмотрим следующую динамическую систему. Материальная точка единичной массы движется внутри области, ограниченной £, под действием потенциала Гука коэффициента к. Предполагается, что центр поля сил совпадает с центром эллипсоида, а отражение частицы от £ абсолютно упругое. Оказывается, такая биллиардная система является интегрируемой по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле. Ее первые интегралы можно найти с помощью метода, описанного В. В. Козловым в работе [1]. Цель настоящей работы — описать полу-локальное устройство слоения Лиувилля этой системы вблизи слоев, отвечающих невырожденным особенностям.
