По разделу «Ряды» математического анализа написано множество справочников, учебников и учебных пособий. Тем не менее, определения некоторых понятий и доказательства некоторых теорем могут быть обновлены с научной, и/или с методической точки зрения, чему посвящена данная статья.
В статье некоторым понятиям даны новые определения, некоторым теоремам даны новые доказательства, а также даны несколько новых теорем о числовых рядах. Их обоснования аргументированы путём сравнения их с традиционными определениями и традиционными доказательствами. При этом автор исходил из общепринятого положения, что любое математическое понятие должно принадлежать строго к одному из двух классов: классу определяемых, либо классу не определяемых понятий.
В статье широко применяются средства математической логики: логические знаки, логические операции и логические законы. Благодаря им из каждого «позитивного» математического высказывания автоматически выводится «негативное» математическое высказывание в форме следствия.
Детально изучается тема «Гармонический ряд» и с ней связанное понятие обобщённый гармонический ряд. Доказано, что так называемый обобщённый гармонический ряд, который также называется рядом Дирихле, оказался просто рядом обратных степеней.
В статье приведены примеры и задачи на доказательства.
Поскольку статья имеет не только научную, но и методическую направленность, её результаты могут представлять интерес как для преподавателей, так и для студентов вузов.
Данная статья посвящена одной из тем курса математического анализа: «Неопределённый и определённый интегралы». В ней рассматривается вопрос выводимости табличных интегралов. Этот вопрос обычно не обсуждается при знакомстве обучающихся с табличными интегралами. Однако он важен не только для понимания студентами основ интегрирования, но и с методической точки зрения, так как может быть применен для отработки студентами навыка применения методов интегрирования, среди которых метод подведения под знак дифференциала, метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям. При проведении практических занятий приходится решать и такие неопределённые интегралы, которые по форме существенно могут отличаться от табличных интегралов, но по структуре являются табличными интегралами. Эти интегралы можно назвать обобщенными табличными интегралами. Важность обобщённых табличных интегралов в том, что из каждого такого интеграла можно вывести бесчисленное множество готовых решений. Исходя из этих соображений, в статье приведены обобщённые табличные интегралы. Кроме того, в конце данной работы рассмотрена обобщенная формула интегрирования по частям и ее применения на практических занятиях. При написании данной статьи использован опыт чтения лекций на физико-математическом факультете ГОУ ВО МО «Государственный гуманитарно-технологический университет» по дисциплине «Математический анализ» для студентов, обучающихся по профилям «Математика», «Математика. Физика», «Математика. Информатика».