Статья: О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ (2025)

Актуальность и цели. В настоящее время значительный интерес представляют способы бесконтактного управления диэлектрическими свойствами полупроводниковых наноструктур и окружающей их матрицы. Оптическая модуляция диэлектрической проницаемости в сочетании с управляемыми туннельными процессами дают возможность направленного изменения свойств низкоразмерных структур и, как следствие, оптимизации характеристик приборов полупроводниковой наноэлектроники. В этой связи полупроводниковые квантовые точки, туннельно-связанные с окружающей матрицей, представляют интерес, так как в таких структурах возможно образование примесных комплексов A + + e, фотовозбуждение которых может приводить к фотодиэлектрическому эффекту (ФДЭ). Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния туннельной прозрачности потенциального барьера на ФДЭ, связанный с возбуждением примесных комплексов A + + e в квазинульмерных структурах во внешнем магнитном поле.

Материалы и методы. Относительное изменение диэлектрической проницаемости (ОИДП) рассчитано в дипольном приближении. Кривые полевой зависимости ОИДП построены для InSb квантовой точки. Численные расчеты и построение графиков проводились с помощью систем численной математики Mathcad 14.0 и Wolfram Mathematica 10.2.

Результаты. В дипольном приближении исследована зависимость ОИДП в квазинульмерной полупроводниковой наноструктуре от величины индукции внешнего магнитного поля и параметров 1D-диссипативного туннелирования. Выявлен дихроизм ФДЭ, связанный с наличием внешнего магнитного поля. Показано, что внешнее магнитное поле подавляет ФДЭ, что связано с усилением локализации электронной волновой функции в магнитном поле, а также с модификацией электронного адиабатического потенциала. Показано, что величина ОИДП зависит от параметров диссипативного 1D-туннелирования.

Выводы. В магнитном поле возможно эффективное управление ФДЭ за счет модификации электронного адиабатического потенциала и электронной волновой функции путем варьирования параметров диссипативного туннелирования.

Актуальность и цели. Целью работы является численное исследование особенностей магнитоплазмонных эффектов, возникающих при дифракции терагерцовых (ТГц) волн на графеновых метаповерхностях во внешних магнитных полях.

Материалы и методы. Преимуществом графена перед обычными плазмонными материалами для применения в плазмонных и магнитооптических устройствах является высокая чувствительность поверхностных магнитоплазмон-поляритонов к внешним магнитным полям, поскольку циклотронная частота сравнима с плазмонной частотой в ТГц- и дальнем инфракрасном диапазонах. Численное исследование магнитоплазмонных резонансов графеновых метаповерхностей в зависимости от величины внешнего магнитного поля и моделирование 3D -e-Field -диаграмм рассеяния на элементе графеновой метаповерхности (прямоугольной графеновой наноленте) проведено с помощью программы CST Microwave Studio. Для решения электродинамической задачи дифракции с помощью MWS CST выбран метод анализа графеновой метаповерхности (бесконечной периодической 2D-структуры) путем применения условий периодичности, которые сводят задачу для бесконечной структуры к анализу одного периода.

Результаты. Получены результаты моделирования 3D- e-Field -диаграммы рассеяния на элементе магнитно-смещенной графеновой метаповерхности (прямоугольной графеновой наноленте) падающей TEM-волны p - и s -поляризации для вертикальной Еy и горизонтальной Ех компонент дифрагированного поля на частотах магнитоплазмонного резонанса в ТГц-диапазоне. Проведен анализ магнитоплазмонных эффектов на основе расчета отношения компонент дифрагированного поля и осевого соотношения в точках сечения (φ = 0°) главного лепестка 3D -e-Field -диаграмм рассеяния при нормальном падении ТЕМ - волны p - и s -поляризации.

Выводы. Из результатов численного исследования характеристик магнитно-смещенных графеновых метаповерхностей следует, что на резонансных частотах наблюдаются магнитоплазмонные эффекты: появление другой компоненты дифрагированного поля, ортогональной по отношению к возбуждающей, а также магнитооптические эффекты вращения плоскости поляризации прошедшей волны (эффект Фарадея) и поворота плоскости поляризации и появление эллиптичности при отражении линейно-поляризованной волны от поверхности графена (магнитооптический эффект Керра), зависящие от величины внешнего магнитного поля.

Актуальность и цели. Рассматриваются особенности определения параметров кубической кристаллической решетки клатратных гидратов. Многие свойства клатратных гидратов аналогичны гексагональному льду, тем не менее взаимодействие поглощенных молекул с льдоподобной кристаллической решеткой имеет особенности.

Материалы и методы. Основным методом, который используется в работе, является получение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов. Полиноминальный подход к единому описанию предлагается ввиду сложной природы движения гостевых молекул с их многочисленными степенями свободы, различных степеней связи этого движения с решеткой хозяина.

Результаты. Предложено использование полученного соотношения в зависимости от температуры системы и типа гидратообразователя. Средние расхождения согласно предложенному методу для гидратообразователей в температурных диапазонах от 10 до 280 К составляют 0,04 % и не превышают 0,09 %.

Выводы. Развитый подход позволяет получать более точные результаты в широком диапазоне условий.

Актуальность и цели. Целью работы является разработка численного алгоритма приближенного восстановления порядка производной в одном уравнении в частных производных дробного порядка, известном как обобщенное волновое уравнение. Актуальность работы обусловлена как значительной практической потребностью в совершенствовании математического аппарата решения обратных и некорректных задач, так и возрастающим числом приложений уравнений в частных производных дробного порядка к математическому моделированию в различных областях физики и техники.

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи применяется подход, основанный на сведении ее к интегральному уравнению, нелинейному относительно искомого параметра, и решению этого уравнения при помощи непрерывного операторного метода решения нелинейных уравнений в банаховых пространствах.

Результаты. Применение непрерывного операторного метода позволило построить численный алгоритм восстановления порядка дробной производной в обобщенном волновом уравнении в дополнительном предположении о знании значения решения уравнения в одной произвольной точке.

Выводы. Описанный подход является достаточно эффективным при решении обратных задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Представляет значительный интерес распространение этого подхода на более широкие классы обратных и некорректных задач для уравнений с дробными производными.

Актуальность и цели. Затронута проблема изучения оптических свойств графена с учетом присущей данному материалу оптической нелинейности и влияния окружающей среды. Цель работы - исследование задачи дифракции ТЕ-поляризованной волны на двумерном слое, покрытом монослоем графена либо регулярной решеткой из бесконечных (в одном из продольных направлений) графеновых полос.

Материалы и методы. С помощью метода функций Грина задача дифракции сводится к нелинейному гиперсингулярному интегральному уравнению, для решения которого применяется метод коллокаций, дополненный итерационным методом для учета эффекта оптической нелинейности графена.

Результаты и выводы. Получены результаты численного моделирования процесса рассеяния электромагнитной волны с частотой 6 ТГц на плоском диэлектрическом слое толщиной 20 мкм, заполненном кремнием и покрытом графеном. Результаты демонстрируют, что изменение химического потенциала графена влечет существенные изменения в профиле отраженной волны, что может быть использовано для управления (модуляции) оптическими сигналами.

Актуальность и цели. Краевые задачи сопряжения для уравнений Максвелла находят широкое применение в различных областях электродинамики благодаря своей способности моделировать сложные физические ситуации, связанные с взаимодействием электромагнитных волн с границами и тонкими слоями материалов. Задачей данной работы является вывод и анализ системы интегральных уравнений для задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, и доказательство существования и единственности решения краевой задачи.

Материалы и методы. С помощью комбинации формул Стрэттона-Чу получена система векторных интегральных уравнений по поверхности шара.

Результаты. Получена система скалярных сингулярных интегральных уравнений для поиска четырех неизвестных функций. Доказана теорема о существовании и единственности решения системы уравнений, а также существование и единственность решения краевой задачи дифракции.

Вывод. Выполнено исследование задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, получена система уравнений для численного решения.

Актуальность и цели. Одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений являются нагруженные уравнения. Они позволяют моделировать процессы, в которых влияние внешних факторов существенно изменяет поведение системы. Особенно это важно в таких областях, как механика, гидрология и материаловедение. Изучение нагруженных уравнений способствует созданию более точных моделей, которые используются для анализа устойчивости и надежности конструкций, а также для прогнозирования различных явлений в природных и инженерных системах. Построены новые разностные схемы повышенного порядка точности для приближенного решения первой краевой задачи для нестационарного нагруженного уравнения влагопереноса в одномерных и многомерных областях. Нагруженные интегральные уравнения позволяют глубже понять распределение нагрузок и взаимодействие элементов в сложных системах. Изученные в данной работе уравнения играют значительную роль в решении актуальных задач экологии, сельского хозяйства, строительства и климатологии. Точное моделирование процессов влагопереноса позволяет эффективно управлять водными ресурсами, прогнозировать уровень грунтовых вод, оптимизировать орошение, обеспечивать устойчивость строительных конструкций и предсказывать последствия климатических изменений. Кроме того, развитие таких моделей способствует прогрессу в гидрологии и смежных науках.

Материалы и методы. Для приближенного решения поставленных задач используется метод конечных разностей и метод энергетических неравенств для получения априорных оценок решений предложенных разностных схем.

Результаты. Для каждой задачи построена разностная схема повышенного порядка аппроксимации. Методом энергетических неравенств для решения каждой разностной задачи получена априорная оценка. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Выводы. Разработаны новые разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для приближенного решения поставленных задач.

Актуальность и цели. В теории линейных дифференциальных уравнений существенную роль играют преобразования, порожденные дифференциальными заменами зависимых переменных. Исследование этих преобразований привело к созданию общей теории дифференциальных алгебр симметрии однородных линейных систем дифференциальных уравнений и к теории дифференциальных гомоморфизмов. Эти теории оказались тесно связанными с понятием теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов (ЛДО). К настоящему времени доказано несколько теорем о нулях ЛДО, но этих теорем недостаточно для исследования алгебр дифференциальной симметрии и соотношений между разными типами линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Формулировка и доказательство новых теорем о нулях ЛДО является актуальной задачей. Основная цель работы - формулировка и доказательство варианта формальной теоремы о нулях ЛДО. Другая важная цель - построение примеров применения теоремы, которые подтверждают ее полезность и основательность.

Материалы и методы. Приведены общие сведения о работах, в которых представлены теоремы о нулях ЛДО. Поясняется смысл формальных теорем о нулях и роль, которую такие частные теоремы могут играть в общей теории. Представлены основные обозначения и понятия, приведено определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов для семейства модулей над кольцом скалярных линейных дифференциальных операторов. Описаны элементы теории псевдообратных матриц и операторов, которые используются при доказательстве основной теоремы работы.

Результаты. Формулируется и доказывается вариант формальной теоремы о нулях. Приведены примеры семейств линейных дифференциальных операторов, для которых выполняются условия теоремы 1 (теоремы 2, 3, 4). Описан метод построения локальных сечений в общей задаче псевдообращения; в новой ситуации применена псевдообратная матрица; использован специальный базис, в котором координаты ЛДО совпадают с его коэффициентами; введено полезное понятие матрицы главных символов ЛДО по столбцам.

Выводы. Результаты работы могут служить основой доказательства справедливости формальной теоремы о нулях для множества конкретных линейных дифференциальных операторов и семейств операторов.

Актуальность и цели. Целью данного исследования является разработка эффективного метода определения свойств объекта сферической формы. Для этого решается обратная задача дифракции с использованием модифицированных объединенных или обобщенных расчетных сеток.

Материалы и методы. Представлено описание прямой и обратной задач, а также метод построения расчетной сетки.

Результаты и выводы. Результат решения прямой задачи получается как решение соответствующего объемного интегрального уравнения. Для решения обратной задачи используется двухшаговый метод. Представлено подробное описание численного метода. Численные результаты решений задачи с зашумленными данными сравниваются с незашумленными данными.