Актуальность и цели. Проведено численное исследование интегральных уравнений первого рода с квадратичной нелинейностью, являющихся частью обобщенного интегро-степенного ряда Вольтерра и описывающих динамические системы с одним входом и одним выходом. Такие уравнения широко применяются в моделировании стационарных систем с неизменными динамическими характеристиками в течение переходного процесса.
Материалы и методы. В основе предложенных итерационных численных методов лежит предварительная линеаризация интегрального оператора по модифицированной схеме Ньютона - Канторовича и использование параметра регуляризации для обеспечения устойчивости к колебанию входных данных. Для решения линейных уравнений на каждой итерации применен метод последовательных приближений в сочетании с аппроксимацией точного решения полиномиальным сплайном, построенным на каждом сегменте разбиения по нулям многочленов Лежандра. Для вычисления интегралов используется составная квадратурная формула Гаусса.
Результаты и выводы. Предложен ряд итерационных численных схем решения квадратичных интегральных уравнений Вольтерра. Сформулированы теоремы сходимости модифицированного метода Ньютона - Канторовича. Приведены численные результаты, подтверждающие сходимость методов.
Актуальность и цели. Динамические системы, задаваемые разрывными кусочно-гладкими векторными полями на плоскости, являются естественными математическими моделями релейных систем теории автоматического управления. Периодические траектории описывают автоколебания. Хотя исследованию рождения периодических траекторий посвящено значительное число работ, описание типичных бифуркаций далеко от завершения. Целью настоящей работы является изучение бифуркаций периодических траекторий, аналогичных бифуркациям двойного и тройного циклов гладкой динамической системы.
Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Предполагается, что при нулевых значениях параметров поле имеет периодическую траекторию Г, касающуюся линий переключения в двух особых точках типа «развилка» и не содержащую других особых точек. При этом обе компоненты, на которые Г разбивает плоскость, пересекаются с сепаратрисами развилок, не содержащимися в Г. Рассматриваются три случая. В первом случае Г устойчива и бифурцирует аналогично тройному циклу, во втором случае Г устойчива, но ее бифуркации состоят только в изменении числа участков скользящих движений на ней, а в третьем случае Г полуустойчива и бифурцирует аналогично двойному циклу.
Выводы. Указано несколько возможных сценариев рождения и перерождения периодических траекторий кусочно-гладкой динамической системы при изменении ее параметров.
Актуальность и цели. В настоящее время активно ведутся исследования, касающиеся свойств брахистохрон как линий с экстремальными свойствами. Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что в ней впервые учтено влияние тепловых эффектов на форму брахистохроны. Главной целью исследования является аналитически строгое решение поставленной задачи.
Материалы и методы. Основным методом решения задачи является метод подвижного базиса, хорошо зарекомендовавший себя при решении множества задач, связанных с исследованием различных свойств брахистохрон.
Результаты. Приведено строгое аналитическое решение сформулированной задачи с учетом теплового эффекта, который был учтен с помощью введения диссипативной функции.
Выводы. Благодаря предложенному в статье алгоритму сформулирован общий методический подход, полезный при решении подобного рода задач, связанных с учетом тепловых свойств материалов.
Актуальность и цели. Симметрия играет важную роль в механике и теоретической физике. Основными моделями в этих науках служат дифференциальные уравнения и системы уравнений. Поэтому изучение симметрий дифференциальных уравнений имеет не только теоретический, но и практический смысл. Канонические дифференциальные уравнения второго порядка являются одним из основных уравнений математической физики.
В статье ставится задача описания операторов дифференциальной симметрии первого порядка канонических уравнений и образованных такими операторами алгебр Ли.
Материалы и методы. Приведен краткий обзор общей теории дифференциальных замен зависимых переменных. Такие замены порождают операторы дифференциальной симметрии, а операторы первого порядка, в частности, образуют алгебры Ли относительно коммутатора. В общем виде описаны используемые понятия, введены канонические уравнения и инварианты Лапласа.
Результаты. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях, при выполнении которых линейный дифференциальный оператор первого порядка является оператором дифференциальной симметрии канонического уравнения. Показано, как теорема применяется для описания множества операторов дифференциальной симметрии уравнений Эйлера - Пуассона. Установлен общий вид коммутатора операторов дифференциальной симметрии первого порядка и доказывается, что алгебра Ли операторов дифференциальной симметрии первого порядка уравнений Эйлера - Пуассона изоморфна алгебре Ли матриц второго порядка. Найдены операторы дифференциальной симметрии канонических уравнений с постоянными коэффициентами, а также канонических уравнений вида. Алгебры Ли таких операторов оказываются разрешимыми четырехмерными алгебрами Ли с одномерным центром.
Выводы. Полученные результаты представляются достаточно значимыми. Но основным результатом является теорема 1, которая может быть использована для описания алгебр Ли дифференциальной симметрии операторов первого порядка в других, не затронутых в этой статье, интересных случаях.
Актуальность и цели. Обратные задачи электромагнитного зондирования, направленные на определение внутренних параметров объекта по внешним измерениям электромагнитного поля, являются некорректно поставленными и сложными в вычислительном плане. Нелинейность и неустойчивость решений требуют применения специальных методов регуляризации. Разработка эффективных неитерационных методов решения таких задач, особенно для трехмерных объектов, остается актуальной задачей для различных областей, таких как медицинская визуализация, геофизика и неразрушающий контроль. Целью является разработка и анализ неитерационного метода решения обратной задачи электромагнитного рассеяния для определения диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля.
Материалы и методы. Работа основана на решении прямой задачи дифракции монохроматической электромагнитной волны на ограниченном объемном рассеивателе с использованием сингулярного интегро-дифференциального уравнения электрического поля. Для решения обратной задачи предлагается двухшаговый неитерационный метод. Он основан на измерении ближнего поля, рассеянного объектом, и применяется для решений в конечномерных пространствах кусочно-постоянных функций.
Результаты. Реализован метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния. Представлены результаты решения прямой и обратной задач. Получено сравнение коэффициентов прохождения для нескольких экспериментов.
Выводы. Разработанный неитерационный метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния обеспечивает определение диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля. Метод демонстрирует эффективность и может быть применен в различных областях, требующих неинвазивного определения параметров объекта.