ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ИНТЕРФЕЙСАМИ (2022)
Разработан алгоритм высокоточного численного решения эллиптического уравнения второго порядка при наличии в области нескольких интерфейсов, в том числе пересекающихся и невыпуклых. Для аппроксимации задачи в окрестности интерфейсов используются нерегулярные ячейки (н-ячейки), отсекаемые ими от регулярных ячеек прямоугольной сетки, и законтурные части этих ячеек. Для построения приближенного решения предложено: 1) выписывать дополнительные условия согласования в н-ячейках на интерфейсах, увеличивая количество согласуемых ячеек вблизи интерфейсов; 2) уменьшать общую часть интерфейса, заключенную в соседних ячейках и используемую для записи условий. Для решения краевой задачи Дирихле реализован hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов (hp-МКНК) в сочетании с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса: предобуславливание; распараллеливание с помощью OpenMP; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; многосеточный алгоритм. При решении различных тестовых задач исследованы сходимость hp-МКНК и обусловленность возникающих переопределенных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Проведено сравнение результатов, полученных МКНК, с результатами других авторов, использовавших метод MIB (англ. matched interface and boundary).
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 49432449
Большинство явлений в природе протекают в средах, в которых одновременно существуют подобласти с непрерывными значениями физических параметров и их разрывами на границах таких подобластей, которые далее в работе мы будем называть интерфейсами (внутренние линии разрыва). По мере развития науки и техники математическое и численное моделирование добилось значительных успехов в направлении количественного описания процессов с непрерывными параметрами. Однако в настоящее время все более актуальными становятся решения задач с разрывными параметрами [1]. Такие физические задачи повлекли появление новых математических постановок. Исследования в этом направлении в частности связаны с возросшими потребностями производства и применения композиционных материалов в различных отраслях промышленности.
Данная работа посвящена численному решению краевых задач Дирихле для двумерного эллиптического уравнения, когда в области решения имеют место разрывы его коэффициентов, решения, производных и/или правой части уравнения на интерфейсах.
Список литературы
- O. A. Oleinik, “Equations of Elliptic and Parabolic Type with Discontinuous Coefficients”, Usp. Mat. Nauk 14 (5), 164-166 (1959). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paperjrnid=rmpaperid=9165option_lang=eng Cited June 30, 2022.
- V. I. Isaev, A. N. Cherepanov, and V. P. Shapeev, “Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert”, Int. J. Heat Mass Transf. 99, 711-720 (2016). DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.04.019 EDN: WUUXMR
- Q. Feng, B. Han, and P. Minev, “Sixth Order Compact Finite Difference Schemes for Poisson Interface Problems with Singular Sources”, Comput. Math. Appl. 99, 2-25 (2021). DOI: 10.1016/j.camwa.2021.07.020
- R. C. Harris, A. H. Boschitsch, and M. O. Fenley, “Numerical Difficulties Computing Electrostatic Potentials Near Interfaces with the Poisson-Boltzmann Equation”, J. Chem. Theory Comput. 13 (8), 3945-3951 (2017). DOI: 10.1021/acs.jctc.7b00487
- A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1977; Marcel Dekker, New York, 2001).
- Y. A. Sabawi, Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Interface Problems, PhD Thesis (University of Leicester, Leicester, 2016).
- A. Cangiani, E. H. Georgoulis, and Y. A. Sabawi, “Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Interface Problems”, Math. Comp. 87, 2675-2707 (2018). DOI: 10.1090/mcom/3322
- L. Zhilin, “Fast Iterative Algorithm for Elliptic Interface Problems”, SIAM J. Numer. Anal. 35 (1), 230-254 (1998). DOI: 10.1137/S0036142995291329
- C.-N. Tzou and S. N. Stechmann, “Simple Second-Order Finite Differences for Elliptic PDEs with Discontinuous Coefficients and Interfaces”, Commun. App. Math. Comp. Sci. 14 (2), 121-147 (2019). DOI: 10.2140/camcos.2019.14.121
-
D. Bochkov and F. Gibou, "Solving Elliptic Interface Problems with Jump Conditions on Cartesian Grids", J. Comput. Phys. 407 (2020). DOI: 10.1016/j.jcp.2020.109269 -
K. Xia, M. Zhan, and G.-W. Wei, "MIB Method for Elliptic Equations with Multi-Material Interfaces", J. Comput. Phys. 230 (12), 4588-4615 (2011). DOI: 10.1016/j.jcp.2011.02.037 -
Y. Chen, S. Hou, and X. Zhang, "A Bilinear Partially Penalized Immersed Finite Element Method for Elliptic Interface Problems with Multi-Domain and Triple-Junction Points", Results Appl. Math. 8 (2020). DOI: 10.1016/j.rinam.2020.100100 -
V. P. Shapeev, V. A. Belyaev, and L. S. Bryndin, "High Accuracy Numerical Solution of Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients", Vestn. Yuzhn. Ural. Gos. Univ. Ser. Mat. Model. Programm. 14 (4), 88-101 (2021). DOI: 10.14529/mmp210407 EDN: KBOORP -
V. A. Belyaev, "On the Effective Implementation and Capabilities of the Least-Squares Collocation Method for Solving Second-Order Elliptic Equations", Vychisl. Metody Program. 22 (3), 211-229 (2021). DOI: 10.26089/NumMet.v22r313 EDN: VBQEPE -
B. P. Kolobov, Zh. L. Korobitsyna, A. V. Plyasunova, and A. G. Sleptsov, "A Collocation-Grid Method on Moving Grids for the Numerical Modelling of Boundary Layers", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 30 (4), 521-534 (1990) [USSR Comput. Math. Math. Phys. 30 (2), 120-129 (1990)]. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paperjrnid=zvmmfpap. DOI: 10.1016/0041-5553(90)90087-9 EDN: WVLCQK -
V. A. Belyaev, L. S. Bryndin, S. K. Golushko, et al., "H-, P-, and HP-Versions of the Least-Squares Collocation Method for Solving Boundary Value Problems for Biharmonic Equation in Irregular Domains and Their Applications", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 62 (4), 531-552 (2022) [Comput. Math. Math. Phys. 62 (4), 517-537 (2022). ]. DOI: 10.1134/S0965542522040029 EDN: VXTBZN -
E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, "On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals", Appl. Math. Comput. 363 (2019). DOI: 10.1016/j.amc.2019.124644 -
M. Ramšak and L. Škerget, "A Subdomain Boundary Element Method for High-Reynolds Laminar Flow Using Stream Function-Vorticity Formulation", Int. J. Numer. Meth. Fluids 46 (8), 815-847 (2004). DOI: 10.1002/fld.776 EDN: LQUTBH -
J. M. Ortega, Introduction to Parallel and Vector Solution of Linear Systems (Plenum, New York, 1988; Mir, Moscow, 1991). doi. DOI: 10.1007/978-1-4899-2112-3 -
Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (SIAM, Philadelphia, 2011). DOI: 10.1137/1.9781611970739 -
V. A. Belyaev, "Solving a Poisson Equation with Singularities by the Least-Squares Collocation Method", Sib. Zh. Vychisl. Mat. 23 (3), 249-263 (2020). [Numer. Anal. Appl. 13 (3), 207-218 (2020). 10.1134/S1995423920030027]. DOI: 10.15372/SJNM20200302 EDN: EJCOCM -
R. P. Fedorenko, Introduction to Computational Physics (Moscow Inst. Phys. Technol., Moscow, 1994) [in Russian]. -
V. I. Isaev and V. P. Shapeev, "High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010). ]. DOI: 10.1134/S0965542510100040 EDN: OHNDSJ -
V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, "An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations", Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007). item.asp?id=12878946 Cited June 30, 2022. EDN: KVVOYT -
V. P. Shapeev and A. V. Shapeev, "Solutions of the Elliptic Problems with Singularities Using Finite Difference Schemes with High Order of Approximation", Vychisl. Tekhnol. 11 (special issue, part 2), 84-91 (2006). https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15281780 Cited June 30, 2022. -
V. A. Belyaev and V. P. Shapeev, "Solving the Dirichlet Problem for the Poisson Equation by the Least Squares Collocation Method with Given Discrete Boundary Domain", Vychisl. Tekhnol. 23 (3), 15-30 (2018). item.asp?id=35095975 Cited June 30, 2022. EDN: URPRWI -
B. V. Semisalov, L. S. Bryndin, V. A. Belyaev, and A. G. Gorynin, "Numerical Analysis of Steady Polymer Fluid Flows and Its Verification", in Proc. XXI All-Russian Conf. of Young Scientists on Mathematical Modeling and Information Technology, Novosibirsk, Russia, December 7-11, 2020 (Center Inform. Comput. Tekhnol., Novosibirsk, 2020), pp. 18-19. https://elibrary.ru/item.asp?id=44687787 Cited June 30, 2022. -
H. Guo, Z. Zhang, and Q. Zou, "A C0 Linear Finite Element Method for Biharmonic Problems", J. Sci. Comput. 74, 1397-1422 (2018). DOI: 10.1007/s10915-017-0501-0 -
M. Ben-Artzi, I. Chorev, J.-P. Croisille, and D. Fishelov, "A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains", SIAM J. Numer. Anal. 47 (4), 3087-3108 (2009). DOI: 10.1137/080718784 -
V. V. Belyaev and V. P. Shapeev, "The Collocation and Least Squares Method on Adaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary", Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000). item.asp?id=13026317 Cited June 30, 2022. EDN: KZBKZX -
V. P. Shapeev and E. V. Vorozhtsov, "CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of the Burgers and Korteweg-de Vries-Burgers Equations", in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Heidelberg, 2014), Vol. 8660, pp. 432-446. DOI: 10.1007/978-3-319-10515-4_31
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Параллельные программные средства и технологии.
Другие статьи выпуска
Высокотемпературные эффекты оказывают существенное влияние на характеристики летательных аппаратов, движущихся с гиперзвуковой скоростью. В связи со сложностью постановки физического эксперимента, методы математического моделирования играют важную роль для нахождения характеристик гиперзвуковых летательных аппаратов. Обсуждается построение и реализация математической модели, предназначенной для численного моделирования гиперзвукового обтекания тела с учетом неравновесных физико-химических процессов в высокотемпературном воздухе. Математическая модель включает в себя уравнения газовой динамики, уравнения модели турбулентности и уравнения химической кинетики. Проводится численное моделирование сверх- и гиперзвукового обтекания полусферы потоком воздуха с учетом высокотемпературных эффектов. Приводится критический обзор различных моделей, которые применяются для нахождения расстояния от фронта ударной волны до поверхности сферы. Результаты расчетов, полученные с использованием разработанного численного метода, сравниваются с данными физического эксперимента и расчетными данными, имеющимися в литературе, в широком диапазоне чисел Маха набегающего потока. Разработанная модель и результаты расчетов имеют значение для моделирования обтекания тел сложной конфигурации и проектирования высокоскоростных летательных аппаратов.
The objective of this paper is to construct a generalized quadratic spectrum approximation based on the Kantorovich projection method which llows us to deal with the spectral pollution problem. For this purpose, we prove that the property U (see Eq. 3) holds under weaker conditions than the norm and the collectively compact convergence. Numerical results illustrate the effectiveness and the convergence of our method.
В данной работе начальная форма волны цунами (ниже именуемая источником цунами) представляется как решение обратной задачи математической физики на основе инверсии удаленных записей пришедшей волны, что позволяет детально изучить факторы, влияющие на результаты восстановления. Исследуемая задача является некорректной, что приводит к ожидаемой неустойчивости численного решения, существенно уменьшить которую позволяет регуляризация, основанная на методе усеченного сингулярного разложения (SVD) (далее метод r-решения). В рамках предложенного подхода на основе анализа распространения энергии олны предлагается методика выбора наиболее информативной части имеющейся системы наблюдения для реального события цунами на Соломоновых островах 6 февраля 2013 г. Метод может быть полезен при разработке новых систем мониторинга цунами.
Работа связана с изучением нелинейных параболических систем, возникающих при моделировании и управлении нестационарными процессами фильтрации в подземной гидродинамике. Одна из постановок является системой, которая включает в себя краевую задачу второго рода для квазилинейного параболического уравнения с неизвестной функцией источника в правой части, а также уравнение изменения по времени этой функции. В другой постановке рассматривается проблема управления этой системой с управляющим воздействием граничного режима. Данные постановки существенно отличаются от обычных краевых задач и задач управления для параболических уравнений, в которых предполагается, что все входные данные должны быть заданы. Полученные в работе результаты представляют не только теоретический интерес, они имеют практическое значение для исследования различных фильтрационных процессов. Приведены некоторые примеры таких приложений, связанных с движением жидкости в трещиновато-пористых средах.
В работе рассматривается предобусловливатель блочного неполного обратного треугольного разложения первого порядка “по значению” BIIC-IC1 для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Рассматривается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, при этом в предобусловливателе число блоков кратно числам используемых процессоров и используемых потоков. Предлагается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, в котором для применения OpenMP технологии используется специальное упорядочение узлов сетки внутри подобластей, соответствующих расчетам на процессорах. Проводится сравнение времени решения задач методом сопряженных градиентов с предобусловливателем BIIC-IC1 с использованием MPI и гибридной MPI+OpenMP технологии на примере модельной задачи и ряда задач из коллекции разреженных матриц SuiteSparse.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/