Работы автора

В работе рассматриваются задачи олимпиадной тематики, которые наиболее успешно решаются методами конечных геометрий. При подготовке учащихся и студентов к участию в математических соревнованиях полезно уделить определённое внимание задачам такого плана.

Доклад посвящён исследованию односторонней задачи для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной в одномерном случае. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщённого решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, pp. 2653-2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде. В настоящем исследовании рассматривается приближённая начально-краевая задача с оператором штрафа А. Каплана и изучается семейство её решений. Благодаря специфической структуре оператора А. Каплана, удаётся получить повышенную регулярность слабого обобщённого решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближённой задачи с оператором А. Каплана. Основные результаты исследования подробно изложены в статье [Т. В. Саженкова, С. А. Саженков, Е. В. Саженкова. Регулярность и аппроксимация решения односторонней задачи для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной // Матем. заметки СВФУ, 2022, 29 (1), 69 - 87].

В работе рассматривается сочетание применения неравенства Коши (между средним арифметическим и геометрическим) и неравенства Мюрхеда продуктивное в ряде случаев при доказательстве неравенств.

В настоящей заметке излагаются новые результаты о свойствах эффективных механических характеристик усредненной модели взаимодействия слабо сжимаемой вязкой жидкости (или газа) и погруженной в нее двухуровневой щетинистой структуры. Эта модель была построена авторами ранее (см. [1]-[3]) с помощью методов теории гомогенизации, исходя из базовых уравнений микроструктуры. Она естественным образом обобщает хорошо известную систему К.-Х. Хоффмана, Н. Д. Боткина и В. Н. Старовойтова [4], сконструированную в случае одноуровневой структуры, и в приложениях может быть использована, например, в описании аэродинамики в окрестности листа растения, в моделировании поверхности эпителия кровеносных сосудов; и при проектировании биотехнологических устройств, работающих в жидкостях.

Рассматривается однородная задача Дирихле для p(x)-эллиптического уравнения анизотропной диффузии-абсорбции с ограничением значений диффузионного потока. Изучается семейство приближённых решений, получаемых с помощью метода штрафа с применением интегрального оператора штрафа А. Каплана. Устанавливается, что семейство приближённых решений при стремлении малого параметра регуляризации к нулю слабо сходится к решению исходной задачи в пространстве Соболева первого порядка с переменным показателем и что имеет место свойство равномерной аппроксимации в классах функций, непрерывных по Гёльдеру.

В работе проводится обсуждение своевременного иллюстрирования теоретического курса приложениями к решению задач, являющихся математическими моделями реальных процессов. Приведён пример такого приложения, базирующийся на понятиях, как достаточно простых, изучаемых на младших курсах бакалавриата, так и весьма сложных, касающихся завершающих тем курса математического анализа.

В работе проводится обсуждение полного решения одной задачи преобразования плоскости, относящейся как к математическому анализу, так и к аналитической геометрии. Приведено подробное решение задачи, базирующегося на достаточно простых топологических понятиях, при этом демонстрирующее досконально чёткое исследование вопроса.

В работе представлен набор задач творческого характера для факультативного практикума со студентами младших курсов, решение которых направлено на развитие аналитических качеств и способствующих самостоятельному продвижению как в подготовке к студенческим математическим соревнованиям, так и в исследовательской работе.

В статье рассматривается пространственно-одномерная нестационарная задача антиплоского сдвига для линейно термоупругого материала (композита) с быстроосциллирующими физическими характеристиками. Частота осцилляций полагается пропорциональной безразмерной величине \varepsilon^{-1}. С помощью метода двухмасштабной сходимости Аллера - Нгуетсенга проводится предельный переход при стремлении частоты осцилляций к бесконечности, то есть при \varepsilon\to0+. В результате конструируется предельная усреднённая двухмасштабная модель динамики композита. Затем стандартным методом асимптотической декомпозиции разделяются масштабы и выводится предельная макроскопическая модель. Настоящая работа подтверждает результат о предельном режиме осцилляций, полученный Ж. Франкфором (1983) с использованием метода аналитической теории полугрупп. Главная новизна настоящей работы по отношению к исследованию Ж. Франкфора состоит в конструкции <<промежуточной>> двухмасштабной модели, а также в дополнительном учёте присутствия быстро осциллирующих внешних распределённых сил и источников тепла и наличия быстрых осцилляций в начальных данных задачи.