ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР

Изучается аффинная связность в расслоении, ассо­циированном с многообразием, структурные уравнения и деривационные формулы которого построены с по­мощью деформаций внешнего и обычного дифферен­циалов. Кривизна и кручение аффинной связности на этом многообразии не являются тензорами. Доказано, что если тензор деформации связности симметричен или равен нулю, то связность является полусимметри­че­ской. Построен аналог симметрической плоской связ­ности, названный простой связностью. Кручение и кри­визна этой связности выражаются через симметрич­ный тензор деформации связности. Каноническая связ­ность яв­ляется частным случаем простой связности, она плос­кая и несимметричная.

Теория движений в обобщенных пространствах яв­ляется одним из направлений в современной диффе­ренциальной геометрии. Вопросами движений в раз­личных пространствах аффинных связностей занима­лись такие ученые, как Э. Картан, П. К. Рашевский, П. А. Ши­роков, И. П. Егоров, А. Я. Султанов. Движения в прямых произведениях двух пространств аффинной связности рассматривались в работе М. В. Моргун.

В данной статье получена оценка верхней границы размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффин­ных преобразований пространств аффинной связности, представляющих собой прямое произведение не менее трех непроективно-евклидовых пространств опреде­ленного вида.

Для решения этой задачи получена система линей­ных однородных уравнений, которой удовлетворяют компоненты произвольного инфинитезимального аф­финного преобразования. Эта система найдена с ис­поль­зованием свойств производной Ли, примененной к тен­зорному полю кривизны рассматриваемых про­странств. Оценка ранга данной системы позволяет по­лу­чить оценку снизу ранга матрицы рассматриваемой системы.

Комплекс  K(n-m)m-плоскостей в случае, когда его размерность превышает , является подмногообра­зи­ем многообразия Грассмана и по классификации Близ­никаса называется коконгруэнцией m-мерных плоско­стей.

В данной работе рассматривается лапласиан Ходжа — де Рама. Формулируются две теоремы об исчезновении ядра лапласиана Ход­жа — де Рама. Уточняется оценка наименьшего собственного зна­чения лапласиана на замкнутых римановых многообразиях.

В статье, посвященной известному геометру и педагогу Юрию Ивановичу Шевченко в связи с его 75-летием, излагается краткая биография ученого. Описан научный вклад Ю.И. Шевченко в теорию связностей, составляющую его основной исследовательский интерес. Им подготовлено около 140 публикаций (среди них 3 учебных пособия), которые внесли огромный вклад в развитие дифференциальной геометрии. Их список представлен в данной статье. Охарактеризованы другие сферы научной деятельности юбиляра: участие в многочисленных международных и общероссийских геометрических конференциях, руководство исследованиями в рамках грантов, научная работа со студентами и аспирантами. Отмечен большой вклад Ю.И. Шевченко в развитие журнала «Дифференциальная геометрия многообразий фигур» в качестве ответственного секретаря редколлегии, а также плодотворная работа с одаренными школьниками.