Статья: ТОЧНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХОХЛОВА - ЗАБОЛОТСКОЙ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (2024)

Актуальность и цели. В настоящее время хорошо известны эффекты размерного квантования в узких нанопроводниках (нанолентах и нанотрубках), вызывающие появление квантов электрического сопротивления, электроемкости и индуктивности. Не менее известны эффекты магнитного квантования, приводящие в двумерных проводниках к появлению квантов холловского сопротивления и магнитосопротивления. Целью данной работы является исследование влияния размерного и магнитного квантования на термомагнитные эффекты Риги - Ледюка и магнитотеплопроводности.

Материалы и методы. Объектами исследования являются металлические графеновые наноленты шириной не менее 100 нм и длиной, не превышающей длину баллистического транспорта электронов (менее 1 мкм). В работе используются известные методы квантовой физики, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса в двумерном электронном газе.

Результаты. Исследованы антисимметричные и симметричные части тензора удельных тепловых сопротивлений 2D-проводника в поперечном магнитном поле. Получены явные выражения для кванта удельного теплового сопротивления Риги - Ледюка и кванта коэффициента удельного абсолютного магнитотеплосопротивления. Результаты исследования могут быть использованы при разработке термомагнитных датчиков, магнитотерморезисторов и других термомагнитных приборов.

Выводы. Показано, что локализация электронов в узких графеновых нанолентах вследствие совместного размерного и магнитного квантования приводит к появлению квантового эффекта Риги - Ледюка и квантов коэффициентов Риги - Ледюка, удельного теплового сопротивления Риги - Ледюка и коэффициента удельного абсолютного магнитотеплосопротивления.

Актуальность и цели. Пространственная локализация фононного газа в пределах наноленты или нанотрубки, подобно локализации газа свободных носителей заряда, должна вызывать квантование тепловых характеристик нанотеплопровода, равно как имеет место кантование электрических характеристик в нанопроводниках электрического тока. Известен универсальный квант теплопроводности и обратный ему квант теплового сопротивления, аналогичный сопротивлению фон Клитцинга. Известны также кванты погонной емкости и погонной индуктивности. В связи с этим возникает актуальная задача поиска их тепловых аналогов, тем более, что теплоемкость известна, а тепловая индуктивность недавно обнаружена. Целью настоящей работы является решение данной задачи.

Материалы и методы. Объектами исследования являются теплопроводы в виде нанолент и нанотрубок баллистической длины с поперечными размерами, не превышающими 100 нм, из гексагонального нитрида бора, являющегося диэлектриком. Это позволяет исключить из тепловых эффектов вклад электронов и ограничиться анализом лишь фононных эффектов.
В работе использовались известные методы квантовой физики, физики твердого тела, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса.

Результаты. Получены явные выражения для квантов погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности, а также числа фононных каналов баллистической теплопроводности в наномасштабных двумерных теплопроводах. Показано, что на основе таких теплопроводов могут быть созданы резонаторы температурных волн терагерцового диапазона частот.

Выводы. Показана возможность существования квантов погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности в нанолентах и нанотрубках из гексагонального нитрида бора и получены описывающие их выражения. Показано, что в случае малого коэффициента термоупругого взаимодействия в указанных выше наномасштабных теплопроводах могут независимо друг от друга возбуждаться как упругие, так и температурные бегущие и стоячие волны.

Актуальность и цели. Зависимости интенсивности света от времени и фототока, протекающего в резисторе, в общем случае описываются различными функциями. Исследованы способы получения зависимости от времени интенсивности импульсов света произвольной формы, следующих с частотой ω, по зависимости фототока от времени при наличии рекомбинации носителей заряда на поверхности полупроводника.

Материалы и методы. Результаты получены на основе исследования кинетики фотопроводимости резистора для линейного и квадратичного закона рекомбинации в объеме полупроводника. Учтена диффузия неравновесных носителей заряда к поверхностям фоторезистора с их последующей поверхностной рекомбинацией. Первый способ основан на использовании операции дифференцирования фототока. Второй способ позволяет восстановить интенсивность оптического импульса произвольной формы по амплитудам гармоник разложения функции, задающей зависимость тока от времени, в ряд Фурье.

Результаты и выводы. Нелинейные, частотные и фазовые искажения в области больших частот малы. Предложенные способы справедливы при выполнении неравенства ( - эффективное время жизни основных носителей заряда).

Актуальность и цели. Для определения неизвестных решений канонических гиперболических дифференциальных уравнений для функций двух переменных представлялось актуальным установление связи дифференциальных изоморфизмов первого порядка этих уравнений с преобразованиями Лапласа.

Материалы и методы. Для исследования изоморфизмов первого порядка применяется теорема о представлении изоморфизмов линейными дифференциальными трансляторами. Используются прямые действия с дифференциальными операторами.

Результаты и выводы. Доказана теорема о том, что любой дифференциальный изоморфизм первого порядка между каноническими дифференциальными уравнениями с вещественно-аналитическими коэффициентами является композицией преобразований Лапласа первого и нулевого порядка. Это позволяет расширить область применения классических преобразований Лапласа.

Актуальность и цели. Цель работы - решение обратной задачи дифракции на телах цилиндрической формы, расположенных в свободном пространстве. Применение рассматриваемой задачи может быть актуально при диагностике рака молочной железы.

Материалы и методы. Исходную краевую задачу для уравнения Гельмгольца предлагается свести к решению интегрального уравнения. Данное уравнение будет решаться численным методом. Используется двухшаговый алгоритм для решения обратной задачи.

Результаты. Представлены графические изображения, иллюстрирующие значение диэлектрической проницаемости внутри тела для исходной задачи и восстановленных значений.

Выводы. Предложен и реализован численный метод нахождения волновой функции, позволяющей идентифицировать структуру объекта без нарушения его целостности.

Актуальность и цели. Цель работы - вывод гибридного интегро-дифференциального уравнения в случае неоднородного объемного препятствия электромагнитной волны, покрытого слоем графена.

Материалы и методы. Для вывода уравнения используются тензор Грина и тензорный аналог интегральной формулы Грина.

Результаты. Задача сопряжения для системы уравнений Максвелла сведена к гибридному интегро-дифференциальному уравнению.

Выводы. Получено новое уравнение, описывающее распространение монохроматической электромагнитной волны в локально неоднородной среде со слоем графена; для численного решения полученного уравнения предложен метод коллокаций.

Актуальность и цели. Рассматриваются приближенные методы решения фазовой проблемы для одномерных и двумерных сигналов, а также случаи непрерывных и дискретных сигналов. Решение фазовой проблемы состоит из двух этапов. На первом этапе по известной амплитуде спектра восстанавливается исходный сигнал. На втором этапе вычисляется преобразование Фурье восстановленного сигнала и приближенно вычисляется фаза спектра сигнала.

Материалы и методы. Построение и обоснование вычислительной схемы базируется на непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений, основанном на теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод устойчив при возмущениях параметров математической модели и при решении нелинейных операторных уравнений, не требует обратимости производных Гато (или Фреше) нелинейных операторов.

Результаты и выводы. Для восстановления исходного сигнала предложены сплайн-коллокационные схемы со сплайнами нулевого и первого порядков. Вычислительные схемы реализуются непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений.

Актуальность и цели. Предложен новый вариационный подход к решению задачи о брахистохроне, целью которого является математически строгое обоснование всех основных уравнений динамического движения тела в подвижном базисе. Актуальность темы исследования продиктована прежде всего новизной поставленной задачи и методики ее решения.

Материалы и методы. Метод решения основан на использовании подвижного базиса и вариационного подхода.

Результаты. Получена строго обоснованная с помощью вариационного подхода система дифференциальных уравнений, описывающая оптимальную траекторию движения тела в подвижном базисе.

Выводы. Предложен общий алгоритм решения подобного рода задач.

Актуальность и цели. Исследование динамических систем, инвариантных относительно разных групп преобразований, важно как для теории дифференциальных уравнений, так и для ее приложений. Локальные бифуркации в типичных двухпараметрических семействах динамических систем, задаваемых векторными полями, инвариантными относительно инволюции плоскости, имеющей прямую из неподвижных точек, были описаны Х. Жолондеком. Целью настоящей работы является исследование некоторых нелокальных бифуркаций в таких семействах.

Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство векторных полей на плоскости с симметрией относительно оси x. Предполагается, что при нулевом значении параметра поле имеет грубое седло, слабое седло, лежащие на оси х, и два симметричных контура, образованные сепаратрисами этих седел. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по типам фазовых портретов в окрестности полицикла, составленного из указанных контуров. В частности, показано, что из каждого контура может родиться по одному устойчивому грубому предельному циклу.

Выводы. Описан один из возможных сценариев возникновения устойчивых периодических колебаний при изменении параметров динамической системы с инволютивной симметрией.

Актуальность и цели. Рассматривается задача о разрешимости интегрального уравнения электрического поля для непоглощающих сред.

Материалы и методы. Применен метод квадратичных форм для анализа операторов задачи.

Результаты и выводы. Доказана непрерывная обратимость оператора уравнения электрического поля в случае плоских экранов и непоглощающих сред.

Актуальность и цели. Первичным звеном приборного оборудования для измерения давления газожидкостной среды является датчик, который поставляет данные о давлении рабочей среды, определяющем надлежащее функционирование машин, механизмов, систем. Увеличение срока службы, уменьшение времени разработки, снижение себестоимости датчиков - первостепенные задачи. В связи с этим важную роль на этапе проектирования систем измерения давления играет математическое моделирование функционирования таких систем. Для измерения и контроля давления рабочей газожидкостной среды в камерах сгорания двигателей используется механическая система «трубопровод - датчик давления», в которой для ослабления воздействия виброускорений и высоких температур датчик соединен с двигателем с помощью трубопровода и располагается на некотором расстоянии от него. Целью работы является создание математической модели системы «трубопровод - датчик давления» и исследование ее на предмет возможности установления соответствия между законом изменения давления в камере сгорания и законом колебания чувствительного элемента датчика давления.

Материалы и методы. Для описания движения рабочей среды (в модели идеального газа) используется нелинейная модель механики жидкости и газа в предположении, что рабочая среда сжимаемая. Для описания динамики чувствительного элемента датчика используется модель, основой которой является обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс одномассовой системы. При указанных предположениях построена математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления». Для решения соответствующей задачи, постановка которой содержит нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, предложены численно-аналитические методы решения на основе метода Галеркина.

Результаты. Разработана нелинейная математическая модель системы измерения давления в газожидкостных средах. Для соответствующей начально-краевой задачи на основе метода Галеркина предложен метод, позволяющий свести ее исследование к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен численный эксперимент и представлены примеры расчета динамики чувствительного элемента датчика.

Выводы. Предложенная математическая модель позволяет определять закон изменения отклонения чувствительного элемента датчика в зависимости от закона изменения давления в камере сгорания. Результаты исследований предназначены для использования на этапе проектирования систем измерения давления.

Актуальность и цели. Одной из важнейших задач в теории расслоений над алгебрами Вейля является изучение инфинитезимальных аффинных преобразований этих расслоений. Получены альтернативные выражения инфинитезимальных аффинных преобразований расслоений Вейля со связностью полного лифта над специальными алгебрами Вейля.

Материалы и методы. Использованы методы тензорного анализа, теории производной Ли.

Результаты. Получены альтернативные выражения инфинитезимальных аффинных преобразований, а также условия, накладываемые на компоненты этих преобразований.

Выводы. Доказано, что инфинитезимальные аффинные преобразования расслоений Вейля со связностью полного лифта над специальными алгебрами Вейля могут быть представлены в виде суммы лифтов горизонтального и горизонтально-векторного типа.

Актуальность и цели. В динамическом моделировании конкурентного взаимодействия в разных областях актуально применение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Исследование двумерных систем, используемых в таких моделях, подробно разработано и отражено в научной литературе. Изучение систем большей размерности часто проводится методами численного анализа, в литературе отражены сложности изучения таких систем классическими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Целью данной работы является изучение методами качественной теории трехмерной системы, применяемой для моделирования взаимодействия трех конкурирующих групп.

Материалы и методы. Дан обзор научных работ о применении систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования динамики конкуренции. Рассматривается трехмерная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с шестью параметрами на инвариантном треугольнике частот. Определены понятия областей приближения (удаления) особых точек системы. Рассматривая пересечения треугольника частот с поверхностями уровня специально подобранных функций, разбиваем его на области приближения (удаления) для каждой особой точки, расположенной на его сторонах, но не в вершинах.

Результаты. Найдены уравнения границ областей приближения (удаления) указанных особых точек, зависящие от параметров системы. Доказаны теоремы, описывающие взаимное расположение границ построенных областей и особых точек системы. Рассмотрен численный пример со значениями коэффициентов системы, основанными на данных лингвистической задачи. Он иллюстрирует разработанный метод анализа фазового портрета.

Выводы. Разработанный и теоретически обоснованный метод позволяет уточнять детали фазового портрета изучаемой системы без ее аналитического или численного решения.