ОБ ЭФФЕКТИВНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ И ВОЗМОЖНОСТЯХ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (2021)
Исследованы возможности численного метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) на примерах кусочно-полиномиального решения задачи Дирихле для уравнений Пуассона и типа диффузии-конвекции с особенностями в виде больших градиентов и разрыва решения на границах раздела двух подобластей. Предложены и реализованы новые hp-варианты метода КНК, основанные на присоединении внутри области малых и/или вытянутых нерегулярных ячеек, отсекаемых криволинейной границей раздела от исходных прямоугольных ячеек сетки, к соседним самостоятельным ячейкам. Выписываются с учетом особенности условия согласования между собой кусков решения в ячейках, примыкающих с разных сторон к границе раздела. Проведено сравнение результатов, полученных методом КНК и другими высокоточными методами. Показаны преимущества и достоинства метода КНК. Для ускорения итерационного процесса применены современные алгоритмы и методы: предобуславливание; свойства локальной системы координат в методе КНК; ускорение, основанное на подпространствах Крылова; операция продолжения на многосеточном комплексе; распараллеливание. Исследовано влияние этих способов на количество итераций и время расчетов при аппроксимации полиномами различных степеней.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 46575189
Моделирование различных процессов и явлений зачастую сводится к решению краевых задач для уравнений с частными производными (УЧП). При этом к численным методам решения возникающих математических проблем предъявляются повышенные требования. Важными вопросами являются устойчивость, скорость, точность и сходимость приближенных решений, а также область применимости конкретных методов к классам задач. В результате в последнее время наблюдается поиск новых вариантов численных методов, обладающих лучшими свойствами, чем методы, применявшиеся ранее. С другой стороны, новые проблемы часто требуют комплексного подхода к их решению. Поэтому гибкие и универсальные численные методы, которые можно относительно легко адаптировать для решения различных задач, становятся удобными инструментами.
Метод коллокации и наименьших квадратов (КНК) возник относительно недавно, хорошо себя зарекомендовал для решения различных одно-, дву- и трехмерных линейных и нелинейных задач и продолжает развиваться. Например, в качестве приложения метод КНК в разное время применялся для решения задач гидродинамики [1, 2] и механики деформируемого твердого тела (МДТТ) [3–5], моделирования лазерной сварки металлических пластин [6]. Метод КНК использовался для решения хорошо и плохообусловленных задач [3–5], краевых задач для УЧП низкого и высокого порядков различного типа в канонических и нерегулярных областях [4, 5, 7], а также для обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений [8]. Областью интересов вычислителей, занимающихся разработкой новых вариантов метода КНК, является его верификация на решении ряда тестовых задач, в том числе с особенностями [9], и проведение сравнения с результатами авторов, использовавших другие методы, с демонстрацией достоинств и преимуществ предлагаемых подходов [1, 4, 9]. Особое место занимает проблема ускорения итерационного процесса и улучшения свойств сходимости в методе КНК с использованием современных вычислительных методов и алгоритмов [2]
Список литературы
- V. I. Isaev and V. P. Shapeev, “High-Accuracy Versions of the Collocations and Least Squares Method for the Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 50 (10), 1758-1770 (2010) [Comput. Math. Math. Phys. 50 (10), 1670-1681 (2010).doi ]. https://link.springer.com/article/. DOI: 10.1134/S0965542510100040 EDN: OHNDSJ
- E. V. Vorozhtsov and V. P. Shapeev, “On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals”, Appl. Math. Comput. 363 (2019). https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300319306368. DOI: 10.1016/j.amc.2019.124644 EDN: IJDCGL
- S. K. Golushko, S. V. Idimeshev, and V. P. Shapeev, “Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory”, Vychisl. Tekhnol. 18 (6), 31-43 (2013). item.asp?id=21118914. EDN: RUDTZF
- V. P. Shapeev and V. A. Belyaev, “Solving the Biharmonic Equation with High Order Accuracy in Irregular Domains by the Least Squares Collocation Method”, Vychisl. Metody Programm. 19 (4), 340-355 (2018). item.asp?id=36735987. DOI: 10.26089/NumMet.v19r431 EDN: YTCZKP
- V. P. Shapeev, L. S. Bryndin, and V. A. Belyaev, “Solving Elliptic Equations in Polygonal Domains by the Least Squares Collocation Method”, Vestn. Yuzhn. Ural. Gos. Univ. Ser. Mat. Model. Programm. 12 (3), 140-152 (2019). item.asp?id=41265010. DOI: 10.14529/mmp190312 EDN: BSJWSD
- V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and A. N. Cherepanov, “Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert”, Int. J. Heat Mass Transf. 99, 711-720 (2016). https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0017931015314101. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.04.019 EDN: WUUXMR
- V. V. Beljaev and V. P. Shapeev, “The Collocation and Least Squares Method onAdaptive Grids in a Domain with a Curvilinear Boundary”, Vychisl. Tekhnol. 5 (4), 13-21 (2000). item.asp?id=13026317. EDN: KZBKZX
- V. P. Shapeev, S. K. Golushko, V. A. Belyaev, et al., “New Versions of the Least-Squares Collocation Method for Solving Differential and Integral Equations,’’ J. Phys.: Conf. Ser. 1715 (2021), 1-8. https://iopscience.iop.org/article/. DOI: 10.1088/1742-6596/1715/1/012031 EDN: AVMMZZ
- V. A. Belyaev, “Solving a Poisson Equation with Singularities by the Least-Squares Collocation Method”, Sib. Zh. Vych. Mat. 23 (3), 249-263 (2020). [Numer. Anal. Appl. 2020. 13 (3), 207-218 (2020). 10.1134/S1995423920030027]. https://link.springer.com/article/10.1134/S1995423920030027. DOI: 10.15372/SJNM20200302 EDN: EJCOCM
-
J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis (CRC Press, Boca Raton, 2003). -
A. M. Blokhin and B. V. Semisalov, "Simulation of the Stationary Nonisothermal MHD Flows of Polymeric Fluids in Channels with Interior Heating Elements", Sib. Zh. Ind. Mat. 23 (2), 17-40 (2020). [J. Appl. Ind. Math. 14 (2), 222-241 (2020). 10.1134/S1990478920020027]. https://link.springer.com/article/10.1134/S1990478920020027. DOI: 10.33048/SIBJIM.2020.23.202 EDN: CYRLOL -
Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems (SIAM, Philadelphia, 2011). https://epubs.siam.org/doi/book/. DOI: 10.1137/1.9781611970739 -
R. P. Fedorenko, Introduction to Computational Physics (Moscow Inst. Phys. Technol., Moscow, 1994) [in Russian]. -
M. Ramšak and L. Škerget, "A Subdomain Boundary Element Method for High-Reynolds Laminar Flow Using Stream Function-Vorticity Formulation", Int. J. Numer. Meth. Fluids. 46 (8), 815-847 (2004). 10.1002/fld.776. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/fld.776. DOI: 10.1002/fld.776.https EDN: LQUTBH -
V. I. Isaev, V. P. Shapeev, and S. A. Eremin, "An Investigation of the Collocation and the Least Squares Method for Solution of Boundary Value Problems for the Navier-Stokes and Poisson Equations", Vychisl. Tekhnol. 12 (3), 53-70 (2007). item.asp?id=12878946. EDN: KVVOYT -
W. J. Coirier and K. G. Powell, "An Accuracy Assessment of Cartesian-Mesh Approaches for the Euler Equations", J. Comput. Phys. 117 (1), 121-131 (1995). https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999185710509. DOI: 10.1006/jcph.1995.1050 -
G. M. Drozdov and V. P. Shapeev, "CAS Application to the Construction ofHigh-Order Difference Schemes for Solving Poisson Equation", in Lecture Notes in Computer Science (Springer, Cham, 2014), Vol. 8660, pp. 99-110.doi https://link.springer.com/chapter/. DOI: 10.1007/978-3-319-10515-4_8 EDN: UEYEZH -
V. P. Shapeev and A. V. Shapeev, "Solutions of the Elliptic Problems with Singularities Using FiniteDifference Schemes with High Order of Approximation", Vychisl. Tekhnol. 11 (special issue, part 2), 84-91 (2006). https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15281780. -
Y. A. Sabawi, Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Interface Problems, PhD Thesis (University of Leicester, Leicester, 2016). -
A. Cangiani, E. H. Georgoulis, and Y. A. Sabawi, "Adaptive Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Interface Problems", Math. Comp. 87, 2675-2707 (2018). https://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-314/S0025-5718-2018-03322-1. DOI: 10.1090/mcom/3322 -
J. M. Ortega, Introduction to Parallel and Vector Solution of Linear Systems (Plenum, New York, 1988; Mir, Moscow, 1991).doi. DOI: 10.1007/978-1-4899-2112-3 -
H. Guo, Z. Zhang, and Q. Zou, "A C0 Linear Finite Element Method for Biharmonic Problems", J. Sci. Comput. 74, 1397-1422 (2018). https://link.springer.com/article/. DOI: 10.1007/s10915-017-0501-0
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Параллельные программные средства и технологии.
Другие статьи выпуска
HPC systems are complex in architecture and contain millions of components. To ensure reliable operation and efficient output, functioning of most subsystems should be supervised. This is done on the basis of collected data from various logging and monitoring systems. This means that different data sources are used, and accordingly, data analysis can face multiple issues processing this data. Some of the data subsets can be incorrect due to the malfunctioning of used sensors, monitoring system data aggregation errors, etc. This is why it is crucial to preprocess such monitoring data before analyzing it, taking into the consideration the analysis goals. The aim of this paper is, being based on the MSU HPC Center monitoring data, to propose an approach to data preprocessing of HPC monitoring systems, giving some real life examples of issues that may be faced, and recommendations for further analysis of similar datasets.
Статья посвящена синтезу многослойных диэлектрических отражательных дифракционных решеток, с высокой эффективностью обеспечивающих спектральное сложение пучков с различной длиной волны в заданном дифракционном порядке. Приводятся результаты решения задачи синтеза многослойных диэлектрических дифракционных решеток, обеспечивающих спектральное сложение в первом или минус первом порядке дифракции. Кроме того, решается задача синтеза для таких решеток с учетом возможных технологических ограничений на высоту профиля (глубину травления). Решение задачи синтеза проводится путем минимизации зависящего от параметров решетки целевого функционала методом Нелдера-Мида. Решение прямой задачи на каждом шаге минимизации осуществляется при помощи комбинации неполного метода Галеркина и метода матриц рассеяния.
Рассматривается численное моделирование газодинамических процессов, сопровождающих формирование и распространение вихревых колец, получаемых при помощи поршневого генератора. Обсуждается влияние характеристик вихревого кольца на перенос пассивной примеси. Для численных расчетов применяются нестационарные уравнения Навье—Стокса, для дисукретизации которых применяется метод конечных объемов. Результаты численного моделирования позволяют получить геометрические и динамические характеристики вихревого кольца, которые соответствуют автомодельному теории вихревого кольца и экспериментальным данным. Помимо традиционных подходов к визуализации вихревых течений, основанных на построении линий уровня различных характеристик потока, для визуализации вихревых структур применяются инварианты тензора градиента скорости и метод показателей Ляпунова на конечном промежутке времени.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/