Публикации автора

В настоящей статье предложен метод оптимизации расположения узлов аппроксимации, реализованный на примере функции Рунге. В основу предложенного метода заложена идея о нелинейности пространства по осям декартовой системы координат. Для управления нелинейностью использована полиномиальная функция с параметром, равномерно распределенным на отрезке [0, 1]. Проведен сравнительный анализ следующих стандартных методов выбора узлов аппроксимации функции Рунге: равномерно по оси абсцисс, равномерно по оси ординат, равномерно по длине кривой, по узлам Чебышева. Для сравнения интерполяционных полиномов Лагранжа проведена оценка погрешностей аппроксимации функции Рунге. Представлены графики построенных полиномов Лагранжа для пяти и семи узлов, выбранных разными способами. Для выбора оптимального расположения узлов аппроксимации предложенного метода составлена целевая функция, минимизация которой и обеспечивает оптимальное расположение узлов xi по оси абсцисс. Расположение узлов аппроксимации по оси ординат определено вычислением значений yi на основе исходной функции Рунге. В результате найдены узлы, которые обеспечивают минимальные отклонения от исходной аппроксимируемой функции Рунге. В качестве примера рассмотрены случаи пяти и семи узлов аппроксимации. Для визуализации полученных результатов приведены графики исходной функции Рунге и её аппроксимации с указанием найденных оптимальных узлов. Данный метод является устойчивым к увеличению количества узлов, расположение которых каждый раз оптимизируется и адаптируется к исходной функции.

Разработка систем автоматизированного проектирования включает комплекс фундаментальных и прикладных исследований. Концептуальную основу математического аппарата таких систем составляет понятие полноценного геометрического тела, как геометрического множества точек, для которого количество текущих параметров соответствует размерности пространства, где геометрическое тело представляется как выделенная часть пространства. Аналитическое описание таких точечных множеств выполняется посредством математического аппарата точечного исчисления. Такой подход имеет обобщение на многомерное пространство. В статье приводится сравнение предложенного подхода к твёрдотельному моделированию геометрических объектов с существующими подходами. Показаны примеры моделирования геометрических тел на основе нового подхода. Выделены преимущества предложенного подхода, включающие компактность аналитического описания, отсутствие необходимости использования матриц преобразования, возможность реализации параллельных вычислений на уровне математического аппарата и др. Обозначены возможности моделирования геометрических тел в точечном исчислении, в том числе моделирование изотропных и анизотропных тел в виде твёрдотельных геометрических объектов с функционально-управляемой линейной и нелинейной структурой пространства.