Публикации автора

В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробнодифференциальным уравнениям.

Предлагается новый алгоритм нахождения приближенных симметрий для дробно дифференциальных уравнений с производными типа Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, порядок которых близок к целому. Алгоритм основан на разложении дробной производной в ряд по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. В линейном приближении такое разложение содержит нелокальный интегро-дифференциальный оператор с логарифмическим ядром.
В результате исходное дробно-дифференциальное уравнение приближается интегро-дифференциальным уравнением с малым параметром, для которого могут быть найдены приближенные симметрии. Доказывается теорема о виде продолжения однопараметрической группы точечных преобразований на новую переменную, порождаемую нелокальным оператором, входящим в разложение дробной производной. Знание такого продолжения позволяет применить к рассматриваемому уравнению приближенный критерий инвариантности.

Предлагаемый алгоритм иллюстрируется на задаче нахождения приближенных симметрий для нелинейного дробно-дифференциального уравнения фильтрации субдиффузионного типа. Показано, что размерность алгебры приближенных симметрий такого уравнения оказывается существенно больше размерности алгебры точных симметрий, что открывает возможность построения большого числа приближенно инвариантных решений. Также на примере линейного дробно-дифференциального уравнения субдиффузии показывается, что алгоритм дает принципиальную возможность находить нелокальные приближенные симметрии определенного вида.