Архив статей журнала
В работе рассматривается уравнение типа Бюргерса с полиномиальной нелинейностью и нулевыми краевыми условиями. Для интересующего диапазона параметров тождественно нулевое решение задачи является локально неустойчивым, и в его окрестности существует устойчивое многообразие, имеющее конечную коразмерность. Для приближенного построения указанного многообразия предложен комбинированный итерационный алгоритм, начальное условие для которого строится аналитическим методом и имеет квадратичную точность. Численно показано, насколько существенно данная модификация позволяет уменьшить для типичных значений параметров вычислительную сложность проецирования на искомое многообразие по сравнению со стандартным линейным приближением. Полученные результаты допускают обобщение на многомерные диссипативные уравнения широкого класса и могут применяться при решении задач асимптотической стабилизации по начальным данным, краевым условиям и правой части.
Рассматривается приближенный метод решения задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, основанный на применении смещенных рядов Чебышёва и квадратурной формулы Маркова. Приведены способы оценки погрешности приближенного решения, выраженного в виде частичной суммы ряда некоторого порядка. Погрешность оценивается с помощью второго приближенного решения, вычисленного специальным образом и представленного частичной суммой ряда более высокого порядка. На основе предложенных способов оценки погрешности построен алгоритм автоматического разбиения промежутка интегрирования на элементарные сегменты, делающие возможным вычисление приближенного решения с наперед заданной точностью. Работа метода проиллюстрирована примерами, в том числе примером из небесной механики.
Системы уравнений с запаздываниями широко применяются в различных областях современного математического моделирования. В ходе разработки структуры математической модели и идентификации ее параметров приходится многократно решать задачу Коши для подобных систем. В случае высокой размерности системы, а также при условии жесткости задачи численное решение уравнений с запаздываниями может требовать значительных вычислительных и временных затрат. Таким образом, разработка и реализация эффективных алгоритмов численного решения различных классов уравнений с запаздывающими аргументами является актуальной задачей. В настоящей статье представлена модифицированная версия программного комплекса DIFSUBDEL, в которой реализованы методы численного решения дифференциальных уравнений с запаздываниями на основе линейных многошаговых методов. Переработанная версия разработана с применением принципов структурного программирования и является значительно более удобной в эксплуатации, чем исходная, а также обладает свойством потокобезопасности, что позволяет использовать комплекс в качестве блока в системах, основанных на технологиях параллельного программирования с общей памятью. Был проведен сравнительный анализ производительности переработанной системы DIFSUBDEL c другими существующими программными реализациями численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием и показана ее эффективность.