Как правило, на многогранниках геодезический поток не рассматривают с точки зрения интегрируемости, поскольку поведение движущейся точки в вершинах, вообще говоря, корректно не определено.
Рассматривается биллиард без трения с абсолютно упругим отражением внутри кольца, образованного двумя софокусными эллипсами, под действием кулоновских потенциалов, сосредоточенных в фокусах эллипсов Ух и У2, е некоторыми зарядами 71 и 72 соответственно. Благодаря результатам В. В. Козлова известно, что такой биллиард является интегрируемым по Лиувиллю в кусочногладком смысле. Автором найдена формула дополнительного первого интеграла, выписаны формулы разделяющихся переменных.
Пусть £ — п-осный эллипсоид в евклидовом пространстве К”. Рассмотрим следующую динамическую систему. Материальная точка единичной массы движется внутри области, ограниченной £, под действием потенциала Гука коэффициента к. Предполагается, что центр поля сил совпадает с центром эллипсоида, а отражение частицы от £ абсолютно упругое. Оказывается, такая биллиардная система является интегрируемой по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле. Ее первые интегралы можно найти с помощью метода, описанного В. В. Козловым в работе [1]. Цель настоящей работы — описать полу-локальное устройство слоения Лиувилля этой системы вблизи слоев, отвечающих невырожденным особенностям.