Исследуется задача поиска оптимального по быстродействию управления в случае, когда процесс описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными выпуклыми ограничениями на фазовые переменные и управление. Путем перехода из n-мерного евклидова пространства в гильбертово пространство задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные и управление сводится к задаче оптимального быстродействия без ограничений. Показано, что область достижимости в новом пространстве является выпуклым множеством. Для решения полученной задачи используется модифицированный метод разделяющих гиперплоскостей. Одним из ключевых моментов этого метода, от которого зависит скорость сходимости алгоритма, является нахождение нормали разделяющей гиперплоскости. В настоящей работе нормаль разделяющей гиперплоскости на каждой итерации строится путем минимизации функционала типа расстояния на выпуклой оболочке опорных к множеству достижимости точек, полученных на предыдущих итерациях. После нахождения нормали, разделяющей гиперплоскости, строится опорная к области достижимости гиперплоскость, которая затем непрерывно переносится по возрастанию времени и находится первый момент времени, при котором опорная гиперплоскость достигнет заданной конечной точки. Этот момент времени и принимается за очередное приближение времени быстродействия. Сформулирована теорема о сходимости последовательных приближений по времени к значению времени быстродействия и о слабой сходимости последовательности управлений к оптимальному управлению. Алгоритм апробирован на решении задачи внешнего нагрева неограниченной пластины до заданной температуры за минимальное время с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения. Приведены результаты вычислительного эксперимента.
В данной работе предложен аналитический подход к синтезу наихудших внешних воздействий для линейных динамических систем, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование проводится для трёх классических функциональных пространств (L2, L\infty, L1) на фиксированном временном интервале, что соответствует задачам поиска воздействия с ограниченной энергией, ограниченной амплитудой и ограниченным импульсом. В качестве объекта анализа выбраны линейные упругие механические системы, что позволяет наглядно интерпретировать результаты. Для количественной оценки получаемых решений вводится специальный унифицированный показатель – отношение целевого выхода системы (например, максимального отклонения) к Lp-норме воздействия (нормированный отклик системы). В представленной работе получены явные аналитические выражения для наихудших воздействий и соответствующих им значений показателей. Показана взаимосвязь между показателями, полученными для различных классов воздействий. Приведены результаты численного моделирования для систем с одной и несколькими степенями свободы, представляющие собой цепочки материальных точек, соединённых упругими и диссипативными элементами между собой и подвижным основанием.