В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций в гильбертовом пространстве Бергмана
В работе исследуются условия, при которых решение эллиптического уравнения с частными производными второго порядка в единичном круге на плоскости будет вырожденным. Доказано, что всякое вырожденное решение является либо многочленом степени не больше 2, либо линейной комбинацией константы и логарифма от дробно–рационального выражения. При доказательстве основного результата используется разложение в ряд Тейлора вырожденного решения данного уравнения в произвольной точке и исследование зависимости коэффициентов полученного ряда от коэффициентов при членах более младших степеней того же ряда
Исследуются рациональные аппроксимации функций, задаваемых интегралом типа Римана — Лиувилля на отрезке [−1, 1] с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций. В качестве аппарата приближений выступает интеграл типа Римана — Лиувилля с плотностью, представляющей собой рациональный интегральный оператор Фурье — Чебышёва. Найдены оценки сверху приближений интеграла типа Римана — Лиувилля с ограниченной плотностью, зависящие от полюсов и положения точки на отрезке. Отдельной задачей изучаются приближения интегралов типа Римана — Лиувилля с плотностью, являющейся функцией со степенной особенностью. Получены равномерные оценки сверху приближений с определенной мажорантой, зависящей от положения точки на отрезке. Найдено асимптотическое выражение этой мажоранты, зависящее от полюсов аппроксимирующей рациональной функции. Исследован случай, когда полюсы представляют собой некоторые модификации «ньюменовских» параметров. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых приближения имеют наибольшую скорость убывания. Скорость наилучших рациональных аппроксимаций рассматриваемым методом является выше в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами
Пользуясь метрикой Пуанкаре, мы определяем конформно инвариантные интегралы для гладких финитных функций, заданных в областях гиперболического типа на расширенной плоскости. Для этих интегралов, содержащих гиперболический радиус, гладкую функцию, ее градиент или лапласиан, рассматриваются конформно инвариантные аналоги неравенств типа Харди и Реллиха с константами, зависящими от области. Мы даем явные оценки констант, пользуясь числовыми характеристиками области, а именно, максимальными модулями области и геометрической константой, входящей в линейное гиперболическое изопериметрическое неравенство. В статье нами доказаны несколько новых утверждений. В частности, обоснован критерий положительности констант для конечно–связных областей гиперболического типа и доказаны несколько интегральных неравенств, универсальных в том смысле, что эти неравенства не содержат неопределенных констант и справедливы в любой области гиперболического типа. В начале статьи кратко изложены свойства гиперболического радиуса, а также описаны несколько родственных результатов. В частности, указаны результаты Шмидта, Оссермана, Фернандеса и Родригеса по гиперболическим изопериметрическим неравенствам и их применениям, дана формула Элстродта — Паттерсона — Салливана для критических показателей сходимости рядов Пуанкаре — Дирихле, а также приведен результат Карлесона и Гамелина по максимальным модулям области с равномерно совершенной границей