ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

Рассмотрены аналитические представления для скорости апсидальной прецессии в эллиптической плоской ограниченной задаче трех тел в случае, когда орбита возмущающего тела - внешняя по отношению к орбите тестовой частицы. Аналитические выражения сопоставлены с численными данными, полученными в ходе массовых расчетов скорости прецессии. Получено аналитическое выражение для скорости апсидальной прецессии в виде степенного ряда по параметру, равному отношению больших полуосей орбит тестовой частицы и возмущающей планеты. Показано, что аналитические выражения для скорости апсидальной прецессии частицы надежны лишь на удалении от зоны нестабильности в окрестности орбиты возмущающей планеты. Вблизи же люка Виздома линейная вековая теория перестает работать. Предложена поправочная эмпирическая формула для вычисления скорости апсидальной прецессии при относительно высоких (но менее 0.5) эксцентриситетах частицы и возмущающей планеты. Предложенные формулы применены к описанию прецессии орбит в реальных экзопланетных системах.

В статье рассматриваются две задачи об устойчивости тривиального положения равновесия плавающих судов с сечениями в форме эллиптического и гиперболического сегментов. Дается обзор примеров на устойчивость плавания тел и излагаются ключевые принципы ее исследования методами аналитической статики. Для каждой из представленных задач путем достаточно серьезных математических построений получается точное выражение для потенциальной энергии в рамках принятой конфигурации и вычисляется его квадратичная аппроксимация вблизи исследуемого равновесного состояния. На ее основе устанавливаются условия устойчивости положения равновесия в терминах трех безразмерных параметров, а также анализируются предельные случаи. Осуществляется сопоставление промежуточных выражений и конечных результатов, полученных в процессе обсуждения каждой из задач, и выявляются их общие черты и отличительные особенности. Найденные решения иллюстрируются в виде семейств границ областей устойчивости на плоскости двух безразмерных параметров при различных значениях третьего параметра. Эти результаты представляют фундаментальное теоретическое значение и могут оказаться полезными для практических приложений.

Изучаются затухающие вращательные колебания цилиндра, который в головной части снабжен соосным диском, а в хвостовой части имеет стабилизатор. Удлинение цилиндра (отношение длины к диаметру) равно девяти. Цилиндр крепится в рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей на проволочной подвеске, содержащей стальные пружины. В положении равновесия ось цилиндра горизонтальна и параллельна вектору скорости набегающего потока. К одной из пружин подвески присоединен полупроводниковый тензопреобразователь, измеряющий во время колебаний зависимость натяжения пружин от времени. Напряжение на выходе тензопреобразователя поступает на РС-осциллограф. Цифровой сигнал осциллографа передается на компьютер. После калибровки прибора определялась частота и амплитуда затухающих вращательных колебаний вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр цилиндра и перпендикулярной вектору скорости набегающего потока. Подд ействием воздушного потока увеличивается скорость затухания вращательных колебаний цилиндра. Влияние воздушного потока описывается аналогами вращательных производных, которые в случае плохо обтекаемых тел зависят от амплитуды колебаний угла наклона тела и от амплитуды угловой скорости. Предложена простая модель влияния стабилизатора на вращательные производные.

Получено новое обобщение так называемой теоремы Хегедюша-Силагьи (Hegedus-Szilagyi) о неподвижной точке путем введения нового сжимающего условия в рамках полных метрических пространств. В качестве приложения доказана новая теорема о неподвижной точке, обобщающая и улучшающая многие известные в литературе результаты.

Рассматривается обратная задача нахождения решения и одномерного ядра интегрального члена неоднородного интегродифференциального уравнения гиперболического типа из условий, составляющих прямую задачу, и некоторого дополнительного условия. Сначала исследуется прямая задача, при этом ядро интегрального члена предполагается известным. Далее, используя дополнительную информацию о решении прямой задачи, получаем интегральное уравнение относительно ядра интеграла h(t), интегрального члена. Таким образом, задача сводится к решению системы интегральных уравнений вольтерровского типа второго рода. Полученная система записывается в виде операторного уравнения. Для доказательства глобальной однозначной разрешимости этой задачи применяется методс жатых отображений в пространстве непрерывных функций с весовыми нормами. Доказана теорема условной устойчивости решения обратной задачи, при этом используется метод оценок интегралов и неравенство Гроноулла.

В статье приводятся условия, при которых вероятность попадания линейной комбинации случайных векторов в сжатый (сверху) многогранный конус, в частности усеченный конус, является Schur-вогнутой функцией от вектора, отвечающего этой линейной комбинации. Требуется, чтобы сжатый конус был выпуклым, содержал точку 0, его ребра были параллельны осям координат, а плотность распределения векторов была логарифмически вогнутой знакоинвариантной функцией. Кроме того, получена в дифференциальной форме характеризация функций, сохраняющих один известный предпорядок, находящийся внутри мажоризационного предпорядка.

Рассматривается задача обращения интегрального преобразования Лапласа, относящаяся к классу некорректных задач. Интегральные уравнения сводятся к плохо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются либо коэффициенты разложения в ряд по специальным функциям, либо приближенные значения искомого оригинала в ряде точек. Рассмотрены различные методы обращения и указаны их характеристики точности и устойчивости, которые необходимо знать при выборе метода обращения для решения прикладных задач. Построены квадратурные формулы обращения, приспособленные для обращения длительных и медленно протекающих процессов линейной вязкоупругости. Предложен метод деформации контура интегрирования в формуле обращения Римана-Меллина, приводящий задачу к вычислению определенных интегралов и позволяющий получить оценки погрешности.

Изучаются отображения сдвига отрезков (дуг окружности), которые можно представить как отображения перекладывания отрезков с перекрытием. Известно, что для любого отображения такого вида существует борелевская вероятностная инвариантная безатомная мера, которая строится как слабый предел инвариантных мер отображений с периодическими параметрами. В последнем случае это просто нормированная мера Лебега на некотором семействе подотрезков. Для таких предельных мер в случае сдвига дуг окружности показывается, что любая точка носителя этой меры может быть сделана периодической сколь угодно малым изменением параметров системы без изменения числа отрезков. Для произвольной инвариантной меры при помощи теоремы Пуанкаре о возвращении показывается, что любая точка может быть сделана периодической при малом изменении параметров системы, причем количество интервалов для отображения увеличивается не более чем на два.

Исследуются аппроксимационные свойства наипростейших дробей (логарифмических производных алгебраических полиномов), все полюсы которых лежат на единичной окружности. Получены критерии плотности таких дробей в классических интегральных пространствах - в пространствах функций, суммируемых со степенью p на единичном отрезке с ультрасферическим весом, и (весовых) пространствах Бергмана, аналитических в единичном круге и суммируемых со степенью p по площади круга функций. Полученные результаты обобщают на случай произвольного показателя p > 0 известные критерии Чуи и Ньюмана и Абакумова, Боричева и Федоровского для пространств Бергмана с p = 1 и p = 2 соответственно.

Работа посвящена исследованию новой модели случайного заполнения отрезка большой длины интервалами меньшей длины. Рассмотрена новая постановка задачи. Изучается модель, в которой единичные интервалы размещаются на отрезке только в том случае, если заполняемый отрезок имеет длину не меньше 2. При этом положение размещаемого интервала подчинено равномерному закону распределения. В работе исследуется поведение среднего числа размещенных интервалов в зависимости от длины заполняемого отрезка. Получено точное выражение для аналога константы Реньи.

Представлен обзор результатов исследований, выполненных в текущем столетии на кафедре дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета. Изучается проблема устойчивости нулевого решения уравнения второго порядка, описывающего периодические возмущения осциллятора с нелинейной восстанавливающей силой при обратимых и консервативных возмущениях. Такие возмущения относятся к трансцендентным возмущениям, при которых для решения вопроса об устойчивости необходимо учитывать все члены разложения правой части уравнения в ряд. Задача об устойчивости при трансцендентных возмущениях была поставлена в 1893 г. А. М. Ляпуновым. Представленные в данной статье результаты по устойчивости осциллятора проводились методами КАМ-теории: рассмотрены возмущения осциллятора с бесконечно малой и бесконечно большой частотой колебаний; даны условия наличия квазипериодических решений в любой окрестности временной оси, откуда следует устойчивость (не асимптотическая) нулевого решения возмущенного уравнения; даны условия устойчивости нулевого решения гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, невозмущенная часть которой описывается парой осцилляторов (в этом случае рассматриваются консервативные возмущения).

Статья содержит обзор важнейших результатов, полученных в рамках научной школы СПбГУ по нелинейным уравнениям в частных производных (школы О.А. Ладыженской - Н.Н. Уральцевой). Основное внимание уделено работам, выполненным в нашем университете за последние 50 лет. Предлагаемая читателям первая часть обзора касается разрешимости и качественных свойств решений краевых задач для скалярных квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, а также вариационных задач. В планируемую вторую часть обзора войдут разделы о полностью нелинейных уравнениях и системах уравнений и о задачах со свободными границами.