Статья: ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА (2025)

Актуальность и цели. Исследования течения вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами (известного как течение Куэтта), как экспериментальные, так и теоретические, актуальны до настоящего времени и находят широкое применение в технических приложениях (теплообменные аппараты, атомные и химические реакторы, сепараторы, астрофизика). Данный класс задач усложняется, когда наряду с гидродинамикой имеет место теплообмен вязкой жидкости. Степень сложности таких задач возрастает при совместном рассмотрении теплообмена и течения вязкой электропроводной жидкости между вращающимися с разной угловой скоростью цилиндрами. Для изучения и более глубокого понимания таких сложных процессов необходимы дальнейшие исследования, которые послужат уточнению математических моделей теплообмена и магнитной гидродинамики. Рассматривается теплообмен и магнитная гидродинамика жидкости (при заданном поле скорости) между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами. Целью работы является исследование влияния угловых скоростей вращения цилиндров, диссипации джоулева тепла, внутренних источников/стоков тепла, толщины цилиндрического слоя и магнитного числа Рейнольдса на поля температуры и магнитной индукции жидкости в цилиндрическом слое.

Материалы и методы. Задача теплообмена и магнитной гидродинамики электропроводной жидкости решается численно методом контрольного объема (Патанкара) в цилиндрической системе координат.

Результаты. Исследовано влияние поля скорости, внутренних источников/стоков тепла, диссипации джоулевой теплоты, толщины цилиндрического слоя на поля температуры, радиальной и угловой составляющих магнитной индукции электропроводной жидкости между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. Установлено, что изменение направления вращения цилиндров приводит к изменению вида экстремума угловой составляющей магнитной индукции. Уменьшение магнитного числа Рейнольдса увеличивает интенсивность теплообмена в жидкости.

Выводы. Полученные результаты могут быть использованы как при исследовании тепловых и магнитогидродинамических процессов, так и проектировании энергетических и химических аппаратов, сепараторов, приборов и установок.

Актуальность и цели. Прозрачные проводящие оксиды (ППО) на основе диоксида олова (SnO₂), легированного сурьмой (Sb), представляют значительный интерес для современных технологий благодаря уникальному сочетанию высокой прозрачности в видимом диапазоне и хорошей электрической проводимости. Такие материалы широко применяются в оптоэлектронике, солнечных элементах и сенсорных устройствах. Однако для оптимизации их свойств необходимо глубокое понимание механизмов переноса заряда, что может быть достигнуто с использованием классической теории Друде. Целью данной работы является анализ на основе теории Друде электронных и оптических свойств тонкопленочных покрытий SnO₂: Sb, полученных методом спрей-пиролиза, а также исследование влияния концентрации носителей заряда и подвижности на проводимость и плазменную частоту.

Материалы и методы. Тонкопленочные покрытия SnO₂: Sb получены методом спрей-пиролиза на стеклянных подложках. Концентрация носителей заряда n определялась с помощью эффекта Холла, а удельное сопротивление измерялось четырехточечным методом. Для анализа электрофизических свойств использована классическая теория Друде, которая позволила рассчитать подвижность носителей, время релаксации и плазменную частоту. Оптические свойства исследовались с использованием спектроскопии в видимом и ближнем инфракрасном диапазонах.

Результаты. Проводимость пленок SnO₂: Sb варьируется в диапазоне от 103 до 104 См/м в зависимости от степени легирования сурьмой. Подвижность носителей заряда находится в диапазоне от 4,83 ∙ 10-4 до 15,91 ∙ 10-4 м2/(В⋅с). Плазменная частота принадлежит диапазону от 1,19 ∙ 1014 до 7,94 ∙ 1014 рад/с, что соответствует длинам волн от 378 до 2520 нм. Пленки SnO₂: Sb демонстрируют высокую прозрачность (более 80 %) в видимом диапазоне для образцов с низкой концентрацией носителей. С увеличением концентрации носителей наблюдается сдвиг плазменной частоты в ультрафиолетовую область, что приводит к снижению прозрачности в видимом диапазоне. Дрейфовая скорость линейно возрастает с увеличением напряжения ( U ) и уменьшается с увеличением расстояния ( d ) между контактами. Для образцов с высокой подвижностью дрейфовая скорость достигает значений 13,25∙10-4 при U = 5 мВ и d = 5 мм.

Выводы. На основе теории Друде выполнен анализ электрофизических и оптических свойств тонкопленочных покрытий SnO₂: Sb, что позволило установить возможность оптимизации проводимости и прозрачности материала посредством варьирования степени легирования сурьмой. Показано, что дрейфовая скорость носителей заряда зависит от подвижности, напряжения и геометрии образца. Это открывает возможности для проектирования устройств с улучшенными характеристиками. Полученные результаты демонстрируют перспективность использования SnO₂: Sb в оптоэлектронных устройствах, где требуется сочетание высокой прозрачности и проводимости.

Актуальность и цели. Расчет взаимодействия между атомами бора и азота интересен с точки зрения прогнозирования физических свойств и создания новых диэлектрических материалов и безуглеродных наноматериалов. Цель работы заключается в расчете нековалентного (дисперсионного) взаимодействия для пар атомов B-B, N-N и B-N из первых квантово-механических принципов. Данный расчет на практике проводится впервые.

Материалы и методы. Используется теория функционала плотности в приближении электронного газа. При этом учитываются кулоновский, кинетический, обменный и корреляционный вклады в энергию взаимодействия. Электронная плотность задается с учетом оболочечной структуры атомов в приближении Рутаана - Хартри - Фока. Для вычисления несобственных интегралов используется оригинальный численный алгоритм, основанный на применении квадратурных формул и технологии распараллеливания вычислений CUDA.

Результаты. В широком диапазоне межатомных расстояний построены функции радиальных электронных плотностей и соответствующие потенциальные кривые, рассчитаны параметры потенциальных ям и константы дисперсионного взаимодействия, проверена корректность эмпирических правил Лоренца - Бертло комбинирования параметров потенциалов.

Выводы. Полученные значения констант дисперсионного взаимодействия для гомоатомных пар согласуются с известными из литературы результатами. С помощью первопринципных расчетов можно определять параметры модельных парных потенциалов, в частности потенциала Сазерленда. Показано, что для нековалентного взаимодействия атомов бора и азота правила Лоренца - Бертло не работают.

Актуальность и цели. Динамические системы, задаваемые разрывными кусочно-гладкими векторными полями на плоскости, являются естественными математическими моделями релейных систем теории автоматического управления. Периодические траектории описывают автоколебания. Хотя исследованию рождения периодических траекторий посвящено значительное число работ, описание типичных бифуркаций далеко от завершения. Целью настоящей работы является изучение бифуркаций периодических траекторий, аналогичных бифуркациям двойного и тройного циклов гладкой динамической системы.

Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Предполагается, что при нулевых значениях параметров поле имеет периодическую траекторию Г, касающуюся линий переключения в двух особых точках типа «развилка» и не содержащую других особых точек. При этом обе компоненты, на которые Г разбивает плоскость, пересекаются с сепаратрисами развилок, не содержащимися в Г. Рассматриваются три случая. В первом случае Г устойчива и бифурцирует аналогично тройному циклу, во втором случае Г устойчива, но ее бифуркации состоят только в изменении числа участков скользящих движений на ней, а в третьем случае Г полуустойчива и бифурцирует аналогично двойному циклу.

Выводы. Указано несколько возможных сценариев рождения и перерождения периодических траекторий кусочно-гладкой динамической системы при изменении ее параметров.

Актуальность и цели. В настоящее время активно ведутся исследования, касающиеся свойств брахистохрон как линий с экстремальными свойствами. Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что в ней впервые учтено влияние тепловых эффектов на форму брахистохроны. Главной целью исследования является аналитически строгое решение поставленной задачи.

Материалы и методы. Основным методом решения задачи является метод подвижного базиса, хорошо зарекомендовавший себя при решении множества задач, связанных с исследованием различных свойств брахистохрон.

Результаты. Приведено строгое аналитическое решение сформулированной задачи с учетом теплового эффекта, который был учтен с помощью введения диссипативной функции.

Выводы. Благодаря предложенному в статье алгоритму сформулирован общий методический подход, полезный при решении подобного рода задач, связанных с учетом тепловых свойств материалов.

Актуальность и цели. Симметрия играет важную роль в механике и теоретической физике. Основными моделями в этих науках служат дифференциальные уравнения и системы уравнений. Поэтому изучение симметрий дифференциальных уравнений имеет не только теоретический, но и практический смысл. Канонические дифференциальные уравнения второго порядка являются одним из основных уравнений математической физики.
В статье ставится задача описания операторов дифференциальной симметрии первого порядка канонических уравнений и образованных такими операторами алгебр Ли.

Материалы и методы. Приведен краткий обзор общей теории дифференциальных замен зависимых переменных. Такие замены порождают операторы дифференциальной симметрии, а операторы первого порядка, в частности, образуют алгебры Ли относительно коммутатора. В общем виде описаны используемые понятия, введены канонические уравнения и инварианты Лапласа.

Результаты. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях, при выполнении которых линейный дифференциальный оператор первого порядка является оператором дифференциальной симметрии канонического уравнения. Показано, как теорема применяется для описания множества операторов дифференциальной симметрии уравнений Эйлера - Пуассона. Установлен общий вид коммутатора операторов дифференциальной симметрии первого порядка и доказывается, что алгебра Ли операторов дифференциальной симметрии первого порядка уравнений Эйлера - Пуассона изоморфна алгебре Ли матриц второго порядка. Найдены операторы дифференциальной симметрии канонических уравнений с постоянными коэффициентами, а также канонических уравнений вида. Алгебры Ли таких операторов оказываются разрешимыми четырехмерными алгебрами Ли с одномерным центром.

Выводы. Полученные результаты представляются достаточно значимыми. Но основным результатом является теорема 1, которая может быть использована для описания алгебр Ли дифференциальной симметрии операторов первого порядка в других, не затронутых в этой статье, интересных случаях.

Актуальность и цели. Обратные задачи электромагнитного зондирования, направленные на определение внутренних параметров объекта по внешним измерениям электромагнитного поля, являются некорректно поставленными и сложными в вычислительном плане. Нелинейность и неустойчивость решений требуют применения специальных методов регуляризации. Разработка эффективных неитерационных методов решения таких задач, особенно для трехмерных объектов, остается актуальной задачей для различных областей, таких как медицинская визуализация, геофизика и неразрушающий контроль. Целью является разработка и анализ неитерационного метода решения обратной задачи электромагнитного рассеяния для определения диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля.

Материалы и методы. Работа основана на решении прямой задачи дифракции монохроматической электромагнитной волны на ограниченном объемном рассеивателе с использованием сингулярного интегро-дифференциального уравнения электрического поля. Для решения обратной задачи предлагается двухшаговый неитерационный метод. Он основан на измерении ближнего поля, рассеянного объектом, и применяется для решений в конечномерных пространствах кусочно-постоянных функций.

Результаты. Реализован метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния. Представлены результаты решения прямой и обратной задач. Получено сравнение коэффициентов прохождения для нескольких экспериментов.

Выводы. Разработанный неитерационный метод решения обратной задачи электромагнитного рассеяния обеспечивает определение диэлектрической проницаемости ограниченного трехмерного объекта по измерениям ближнего поля. Метод демонстрирует эффективность и может быть применен в различных областях, требующих неинвазивного определения параметров объекта.