Статья: НЕЧЕТКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ ЯДРАМИ: ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ (2024)

Дан краткий обзор основных направлений научной деятельности А. С. Апарцина в развитии теории неустойчивых задач вычислительной математики. Приведены теоретические и прикладные результаты исследований его коллег и учеников.

Задание базовых правил вывода имеет фундаментальное значение для логики. Наиболее общим вариантом возможных правил вывода являются допустимые правила вывода: в логике

Результаты исследования относятся к следующей задаче: найти естественные конечные фильтрующие элементы данной линейной группы над конечно порожденным коммутативным кольцом. Особый интерес вызывает кольца коэффициентов, которые являются частью одного элемента, например кольцо целых чисел или кольцо целых гауссовых чисел. Доказано, что проективная общая линейная группность n над кольцами целых гауссовых чисел тогда и только тогда по возникновению событий инволюциями, два из которых перестановочны, когда n больше 4 и 4 размер не делит n. Ранее М. А. Всемирнов, Р. И. Гвоздев, Д. В. Левчук и авторы данной статьи разработали аналогичную задачу для предварительной и проективной обработки линейных групп.

Актуальность исследования обусловлена сложностью оценки экологической и социальной ответственности компаний в условиях ограниченного времени и сведений о них, а также возможностью автоматического сбора информации из открытых источников. Использованы методы автоматического выделения топиков из текстовых данных, методы машинного обучения и многокритериального ранжирования, сопоставительный и экспертный анализ получаемых результатов. Для проведения экспериментов было собрано более 1200 отчетов ведущих российских компаний за период 2019-2022 гг., а также использовались новости, размещенные на сайте Forbes. ru. Разработана модель и методика ее применения для анализа текстовой информации о группе компаний для их ранжирования. Проведен качественный и количественный анализ, показывающий неслучайный и обоснованный характер получаемых результатов. Показана эффективность предложенной модели для выбора компаний путем ранжирования ограниченного их перечня на основе доступной текстовой информации.

Рассматриваются ациклические графы, аппроксимируемые конечными ациклическими графами. Доказано, что любой счетно категоричный ациклический граф гладко аппроксимируем. Приведен пример псевдоконечной ациклической теории графов, имеющей четное, нечетное и бесконечное число лучей.

Строятся частичные группоиды, ассоциированные с композициями многослойных нейронных сетей прямого распределения сигнала (далее - нейронные сети). Элементами данных группоидов являются кортежи специального вида. Задание такого кортежа определяет структуру (т. е. архитектуру) нейронной сети. Каждому такому кортежу можно сопоставить отображение, которое будет реализовывать работу нейронной сети как вычислительной схемы. Таким образом, в данной работе нейронная сеть отождествляется в первую очередь со своей архитектурой, а ее работу реализует отображение, которое строится с помощью модели искусственного нейрона. Частичная операция в построенных группоидах устроена так, что результат ее применения (если он определен) к паре нейронных сетей дает нейронную сеть, которая на каждом входном сигнале действует в соответствии с принципом композиции нейронных сетей (т. е. выходной сигнал одной сети отправляется на вход второй сети). Установлено, что построенные частичные группоиды являются полугруппоидами (т. е. частичными группоидами с условием сильной ассоциативности). Строятся некоторые эндоморфизмы указанных группоидов, которые позволяют менять пороговые значения и функции активации нейронов указанной совокупности. Изучаются преобразования построенных частичных группоидов, которые позволяют менять веса синоптических связей из заданного множества синоптических связей. Данные преобразования в общем случае не являются эндоморфизмами. Был построен частичный группоид, для которого данное преобразование является эндоморфизмом (носитель этого частичного группоида является подмножеством в носителе исходного частичного группоида).

Классическая лемма Донга в теории вертексных алгебр утверждает, что свойство локальности формальных распределений с коэффициентами из алгебры Ли сохраняется под действием вертексного оператора. Аналогичное утверждение известно для ассоциативных алгебр. Изучаются формальные распределения над прелиевыми (правосимметрическими) и преассоциативными (дендриформными) алгебрами, а также над алгебрами Новикова и показывается, что аналог леммы Донга верен для алгебр Новикова, но не выполняется для прелиевых и преассоциативных алгебр.

Исследуется нелинейное интегральное уравнение на полуоси со специальным субстохастическим ядром. Такие уравнения встречаются в кинетической теории газов при изучении нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана в рамках нелинейной модифицированной модели Бхатнагара - Гросса - Крука (БГК). При определенных ограничениях на нелинейность удается построить положительное непрерывное и ограниченное решение данного уравнения. Более того, доказывается единственность решения в классе ограниченных сверху на полуоси функций, имеющих положительный инфимум. Доказывается также, что соответствующие последовательные приближения равномерно со скоростью некоторой убывающей геометрической прогрессии сходятся к решению указанного уравнения. При одном дополнительном условии исследуется асимптотическое поведение решения на бесконечности. Приводятся конкретные примеры указанных уравнений, для которых автоматически выполняются все условия доказанных фактов.

Рассматривается нелинейное уравнение Шредингера отрицательного порядка с нагруженным членом в классе периодических функций. Показано, что такое уравнение может быть проинтегрировано методом обратной спектральной задачи. Определена эволюция спектральных данных оператора Дирака с периодическим потенциалом, связанного с решением нелинейного уравнения Шредингера отрицательного порядка с нагруженным членом. Полученные результаты позволяют применить метод обратной задачи для решения нелинейного уравнения Шредингера отрицательного порядка с нагруженным членом в классе периодических функций. Получены важные следствия об аналитичности и о периоде решения по пространственной переменной.

Предлагается матричная реализация метода коллокации для построения решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с применением систем ортогональных полиномов Чебышева первого рода и полиномов Лежандра. Подынтегральная функция в рассматриваемых уравнениях представляется в виде частичной суммы ряда по этим многочленам. В качестве точек коллокаций выбираются корни полиномов Чебышева и Лежандра. С использованием матричных и интегральных преобразований, свойств конечных сумм произведений этих полиномов и весовых функций в нулях соответствующих многочленов со степенью, равной числу узлов, интегральные уравнения приводятся к системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомых функций в этих точках. В результате решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода находятся путем полиномиальных интерполяций полученных значений функций в точках коллокаций с использованием обратных матриц, элементы которых записываются на основе ортогональных соотношений для этих полиномов. Элементы интегральных матриц также приводятся в явном виде. Получены оценки погрешностей построенных решений по бесконечной норме. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность использованного метода коллокации.

В банаховом пространстве исследуется линейная обратная задача для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка. Неоднородное вложение в уравнении считается стационарным и неизвестным. В начальный момент времени заданы стандартные условия Коши. В последний момент времени добавлено новое условие - значение второй производной от основной эволюционной функции, т. е. е. порядок производной в конечной величине соответствует порядку уравнений. Для поставленной задачи получены критерии единственности решения, выраженные в спектральных терминах. Указано достаточное условие невозможности решения. Рассмотрен пример уравнения Пуассона в круглой области.